Лемма Шура

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммы

Представление группы G автоморфизмами некоторого векторного пространства GL(V)   σ:G→GL(V) называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного подпространства V'Ì V (т.е. такого, что для всех элементов группы σ_gV'Ì V' ) и отличного от 0 и самого V.

Лемма Шура:Пусть f — линейное отображение векторных пространств f:V₁→V₂ , над некоторым полем K такое, что существуют два неприводимых представления σ:G→GL(V₁) и τ:G→GL(V₂), такие, что τ_gf=fσ_g для всех g . Тогда:

1)Если f не является изоморфизмом, то f — нулевое отображение.

2)Если V₁=V₂ конечномерны над алгебраически замкнутым полем K и σ=τ, то f является умножением на некоторый элемент поля f:x→λx.

Доказательство

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть $\displaystyle E$ и $\displaystyle F$ модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм $f: E \rightarrow F$ является либо нулевым, либо изоморфизмом на $\displaystyle F$.

В самом деле, так как $\mathrm{Ker}\, f$ и $\mathrm{Im}\, f$ являются подмодулями, то если $\displaystyle f$ ненулевой гомоморфизм, имеем $\mathrm{Ker}\, f = 0$, а $\mathrm{Im}\, f = F$, то есть $\displaystyle f$ — изоморфизм на весь модуль $\displaystyle F$.

Теперь определим групповое кольцо K[G]. Элементами этого кольца будут линейные комбинации k₁g₁+k₂g₂+...k_ng_n. Умножение определяется (k₁g₁)(k₂g₂)=(k₁k₂)(g₁g₂) и далее по линейности. Ясно, что K[G] кольцо. На пространстве V₁ определим умножение элемента из K[G] на элемент xÎ V₁: (k₁g₁+k₂g₂+...k_ng_n)x=k₁σ_g1x+k₂σ_g2x+...k_nσ_gnx. Тем самым мы превращаем V₁ в модуль над кольцом K[G]. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. σ является представлением. V₂ аналогично, заменяя σ на τ, будет модулем над K[G], а равенство τ_gf=fσ_g то, что отображение f является гомоморфизмом модулей. Так как V₁ и V₂ неприводимы, а это означает их простоту как модулей над K[G], то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного векторов x≠0 для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значениию λ, fx=λx. Имеем для любого элемента gÎ G σ_g(f-λid)=(f-λid)σ_g, причём для собственного вектора x≠ 0 f-λ·id=0. следовательно f-λ·id по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, f является умножением на некоторое λ.

Литература

• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп -М:, Мир, 1969