Лемма Шура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммы[править | править вики-текст]

Представление группы G автоморфизмами некоторого векторного пространства GL(V) \sigma: G\to GL(V) называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно \sigma подпространства отличного от 0 и самого V.

Лемма Шура:Пусть f — линейное отображение векторных пространств f:V_1\to V_2, над некоторым полем K такое, что существуют два неприводимых представления \sigma: G\to GL(V_1) и \tau: G\to GL(V_2), такие, что \tau_g f=f\sigma_g для всех g. Тогда:

1)Если f не является изоморфизмом, то f — нулевое отображение.

2)Если V_1=V_2 конечномерны над алгебраически замкнутым полем K и \sigma=\tau, то f является умножением на некоторый элемент поля f:x\to\lambda x.

Доказательство[править | править вики-текст]

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть E и F модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм  f: E \rightarrow F является либо нулевым, либо изоморфизмом на F.

В самом деле, так как \mathrm{Ker}\, f и \mathrm{Im}\, f являются подмодулями, то если f ненулевой гомоморфизм, имеем \mathrm{Ker}\, f = 0, а \mathrm{Im}\, f = F, то есть f — изоморфизм на весь модуль F.

Теперь определим групповое кольцо K[G]. Элементами этого кольца будут линейные комбинации k_1g_1+k_2g_2+...+k_ng_n. Умножение определяется (k_1g_1)(k_2g_2)=(k_1k_2)(g_1g_2) и далее по линейности. Ясно, что K[G] кольцо. На пространстве V_1 определим умножение элемента из K[G] на элемент x\in V_1: (k_1g_1+k_2g_2+...+k_ng_n)x=k_1\sigma_{g_1}x+k_2\sigma_{g_2}x+...+k_n\sigma_{g_n}x. Тем самым мы превращаем V_1 в модуль над кольцом K[G]. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. \sigma является представлением. V_2 аналогично, заменяя \sigma на \tau, будет модулем над K[G], а равенство \tau_g f=f\sigma_g то, что отображение f является гомоморфизмом модулей. Так как V_1 и V_2 неприводимы, а это означает их простоту как модулей над K[G], то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора x\neq 0 для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значениию \lambda, f(x)=\lambda x. Для любого элемента g\in G имеем \sigma_g(f-\lambda\operatorname{id})=(f-\lambda\operatorname{id})\sigma_g, причём для собственного вектора x\neq 0 f-\lambda\operatorname{id}\neq 0. следовательно f-\lambda\operatorname{id} по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, f является умножением на некоторое \lambda.

Литература[править | править вики-текст]

  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
  • Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1969.