Лемниската Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Лемниската и её фокусы

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

История[править | править вики-текст]

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения[править | править вики-текст]

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

\textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2)
Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}
\textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi.
Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра
  • Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
\begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}, где p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big)

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от -\infty до +\infty. При этом, когда параметр стремится к -\infty, точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к +\infty, то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства[править | править вики-текст]

Некоторые свойства лемнискаты:
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы \textstyle\pm\frac{\pi}{4};
3. Для любой точки A лемнискаты выполняется: AP=PO, где AP — биссектриса \angle F_1AF_2;
4. \textstyle\mu=2\varphi+\frac{\pi}{2} для любой точки кривой;

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a=c, синусоидальной спирали с индексом n=2 и лемнискаты Бута при c=0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини[править | править вики-текст]

  • Лемниската — кривая четвёртого порядка.
  • Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
  • Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
    \begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases}
  • Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
  • Лемнискату описывает окружность радиуса \textstyle a=c\sqrt{2}, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей[править | править вики-текст]

  • Касательные в двойной точке составляют с отрезком F_1F_2 углы \textstyle\pm\frac{\pi}{4}.
  • Угол \mu, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен \textstyle 2\varphi+\frac{\pi}{2}.
  • Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
  • Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит леминискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
  • Радиус кривизны лемнискаты есть \textstyle R=\frac{2c^2}{3\rho}

Собственные свойства[править | править вики-текст]

Гравитационное свойство лемнискаты
  • Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
  • Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
  • Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол 45^\circ с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
  • Площадь полярного сектора \varphi\in[0,\alpha], при \textstyle 0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}:
    \textstyle S(\alpha)=\frac{c^2}{2}\sin2\alpha
  • Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
  • Длина дуги лемнискаты между точками \varphi_1=0 и \varphi_2=\varphi выражается эллиптическим интегралом I рода:
    \textstyle L(\varphi)=c\int\limits_0^\varphi\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-2\sin^2\varphi}}=\frac{c}{\sqrt{2}}\int\limits_0^\theta\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{c}{\sqrt{2}}F\left(\theta,\frac{1}{\sqrt{2}}\right), где 2\sin^2\varphi=\sin^2\theta.
    • В частности, длина всей лемнискаты
      \textstyle 4L\left(\frac{\pi}{4}\right)=2c\sqrt{2}\,K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 5{,}9 c.

Построения[править | править вики-текст]

При помощи секущих (способ Маклорена)[править | править вики-текст]

Строится окружность радиуса \textstyle\frac{c}{\sqrt{2}} с центром в одном из фокусов. Из середины O фокусного отрезка строится произвольная секущая OPS (P и S — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки OM_1 и OM_2, равные хорде PS. Точки M_1, M_2 лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы[править | править вики-текст]

Вариант первый[править | править вики-текст]

На плоскости выбираются две точки — A и B — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — C и D). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: \textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй[править | править вики-текст]

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — A и O соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок OC соединяется не с концом центрального BD, а с его серединой. Пропорции также другие: \textstyle BC=CD=OC=\frac{AO}{\sqrt{2}},\;AB=AO.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]