Лемниската Бута

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Hippopede01.svg

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

(x^2 + y ^2)^2 - (2m^2 + c)x^2 + (2m^2 - c)y^2 = 0.

Виды[править | править вики-текст]

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами m и c. Если c > 2m^2, то уравнение лемнискаты принимает вид

(x^2 + y ^2)^2 = a^2x^2 + b^2y^2, где a^2 = 2m^2 + c и b^2 = c - 2m^2.

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

\rho^2 = a^2cos^2 \phi + b^2sin^2\phi.

Если c < 2m^2, то уравнение лемнискаты принимает вид

(x^2 + y ^2)^2 = a^2x^2 - b^2y^2, где a^2 = 2m^2 + c и b^2 = 2m^2 - c.

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

\rho^2 = a^2cos^2 \phi - b^2sin^2\phi.

Частные случаи[править | править вики-текст]

  • При c = 2m^2 лемниската Бута вырождается в две окружности x^2 + y^2 \pm 2mx = 0.
  • При c = 0 лемниската Бута вырождается в лемнискату Бернулли.

Свойства[править | править вики-текст]

Площадь[править | править вики-текст]

С помощью полярного уравнения лемнискаты можно определить площадь, которую она ограничивает. Для эллиптической лемнискаты:

2\int\limits_0^\frac{\pi}{2} (a^2cos^2\phi + b^2sin^2\phi) d\phi = \frac{\pi}{2}(a^2+b^2).

Для гиперболической лемнискаты:

\int\limits_0^{arctg\frac{a}{b}} (a^2cos^2\phi - b^2sin^2\phi) d\phi = \frac{a^2 - b^2}{2}arctg\frac{a}{b} + \frac{ab}{2}.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]