Лемниската Бута

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

$(x^2 + y ^2)^2 - (2m^2 + c)x^2 + (2m^2 - c)y^2 = 0.$

Виды

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами $m$ и $c$. Если $c > 2m^2$, то уравнение лемнискаты принимает вид

$(x^2 + y ^2)^2 = a^2x^2 + b^2y^2$, где $a^2 = 2m^2 + c$ и $b^2 = c - 2m^2.$

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

$\rho^2 = a^2cos^2 \phi + b^2sin^2\phi.$

Если $c < 2m^2$, то уравнение лемнискаты принимает вид

$(x^2 + y ^2)^2 = a^2x^2 - b^2y^2$, где $a^2 = 2m^2 + c$ и $b^2 = 2m^2 - c.$

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

$\rho^2 = a^2cos^2 \phi - b^2sin^2\phi.$

Частные случаи

• При $c = 2m^2$ лемниската Бута вырождается в две окружности $x^2 + y^2 \pm 2mx = 0.$
• При $c = 0$ лемниската Бута вырождается в лемнискату Бернулли.

Свойства

• Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида $x^2 + y^2 = cz$ с поверхностью конуса $a^2x^2 + b^2y^2 = c^2z^2.$
• Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка $a^2x^2 \pm b^2y^2 = k^4$ с центром в начале координат.

Площадь

С помощью полярного уравнения лемнискаты можно определить площадь, которую она ограничивает. Для эллиптической лемнискаты:

$2\int\limits_0^\frac{\pi}{2} (a^2cos^2\phi + b^2sin^2\phi) d\phi = \frac{\pi}{2}(a^2+b^2).$

Для гиперболической лемнискаты:

$\int\limits_0^{arctg\frac{a}{b}} (a^2cos^2\phi - b^2sin^2\phi) d\phi = \frac{a^2 - b^2}{2}arctg\frac{a}{b} + \frac{ab}{2}.$

См. также

• Лемниската Бернулли
• Лемниската Жероно

Литература

• А. А. Савелов Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / под ред. А. П. Нордена. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — С. 144—146. — 294 с.
• Математическая энциклопедия / под. ред. И. М. Виноградова. — «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1. — С. 566.
• Weisstein, Eric W. Hippopede (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Courbe de Booth  (фр.)