Линеаризация обратной связью

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Линеаризация обратной связью заключается в том, чтобы систему вида \Delta x=F(x)+G(x)*u привести к виду \Delta x=v где v- некоторое внешнее управление. В этом случае нелинейная система становится линейной, а внешнее управление предусмотрено для стабилизации и управления оставшейся линейной частью системы.

обычно выбирают закон управления в виде u=G(x)^{-1}* ( v - F(x))

этот закон управления часто приводит к цели управления, если функция G(x)^{-1} вычислима.

Линеаризация обратной связью скалярной системы[править | править вики-текст]

Рассмотрим случай линеаризации обратной связью системы с одним входом и одним выходом. Похожие результаты могут быть получены для систем с несколькими входами и выходами. Пусть исходная система представлена в виде

\begin{align}\dot{x} &= f(x) + g(x)u \qquad &(1)\\
y &= h(x) \qquad \qquad \qquad &(2)\end{align}

где x \in \mathbb{R}^n вектор состояния системы, u \in \mathbb{R} вход, y \in \mathbb{R} выход.

Найдём преобразование z = T(x) преобразующее систему к нормальной форме:

u = a(x) + b(x)v\,

теперь система представлена в форме вход-выход по отношению к новому входу v \in \mathbb{R} и выходу y. Для того, чтобы преобразованная система была эквивалентна исходной, преобразование должно быть диффеоморфизмом, т.е. быть не только однозначным но и гладким. На практике, преобразование может быть локальным диффеоморфизмом, но тогда результаты линеаризации сохраняются только в этой локальной области.

Производная Ли[править | править вики-текст]

Задача линеаризации обратной связью в построении преобразованной системы, состояния которой -- выход y и его первые (n-1) производных. Для достижения этой цели используем производную Ли. Рассмотрим производную по времени от (2), которая может быть вычислена с помощью правила дифференцирования сложной функции,

\begin{align}
\dot{y} = \frac{\operatorname{d}h(x)}{\operatorname{d}t} &=\frac{\operatorname{d}h(x)}{\operatorname{d}x}\dot{x}\\
&= \frac{\operatorname{d}h(x)}{\operatorname{d}x}f(x) + \frac{\operatorname{d}h(x)}{\operatorname{d}x}g(x)u
\end{align}

теперь мы можем определить производную Ли от h(x) через f(x) как,

L_{f}h(x) = \frac{\operatorname{d}h(x)}{\operatorname{d}x}f(x),

и, аналогично, производную Ли от h(x) через g(x) как,

L_{g}h(x) = \frac{\operatorname{d}h(x)}{\operatorname{d}x}g(x).

Введя данные обозначения, определяем \dot{y} как,

\dot{y} = L_{f}h(x) + L_{g}h(x)u

Следует отметить, что применение производных Ли удобно, когда мы берем многократные производные или относительно той же самой векторной области или относительно различной. Например,

L_{f}^{2}h(x) = L_{f}L_{f}h(x) = \frac{\operatorname{d}(L_{f}h(x))}{\operatorname{d}x}f(x),

и

L_{g}L_{f}h(x) = \frac{\operatorname{d}(L_{f}h(x))}{\operatorname{d}x}g(x).

Относительная степень[править | править вики-текст]

В нашей линеаризуемой системе вектор состояния состоит из выходной переменной y и её первых (n-1) производных. Необходимо понять как вход u вводится в систему. Для этого введём понятие относительной степени. Система (1), (2) имеет относительную степень r \in \mathbb{W} в точке x_0 если,

L_{g}L_{f}^{k}h(x) = 0 \qquad \forall x в окрестности x_0 для всех k \leq r-2
L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_0) \neq 0

Considering this definition of relative degree in light of the expression of the time derivative of the output y, we can consider the relative degree of our system (1) and (2) to be the number of times we have to differentiate the output y before the input u appears explicitly. В теории линейных стационарных систем относительная степень это разница между степенями полиномов числителя и знаминателя передаточной функции.

Линеаризация обратной связью[править | править вики-текст]

Далее будем полагать, что относительная степень системы равна n. В этом случае, дифференцируя выход n раз, имеем:

\begin{align}
y &= h(x)\\
\dot{y} &= L_{f}h(x)\\
\ddot{y} &= L_{f}^{2}h(x)\\
&\vdots\\
y^{(n-1)} &= L_{f}^{n-1}h(x)\\
y^{(n)} &= L_{f}^{n}h(x) + L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u
\end{align}

где y^{(n)} означает nю производную от y. Учитывая, что относительная степень системы равна n, производные Ли формы L_{g}L_{f}^{i}h(x) for i = 1, \dots, n-2 все равны нулю. Что означает, что вход u не вносит прямого вклада в любую из (n-1) первых производных.

Преобразование T(x), приводящее систему к нормальной форме, может быть определено с использованием первых (n-1) производных. В частности,

z = T(x) = \begin{bmatrix}z_1(x) \\
z_2(x) \\
\vdots \\
z_n(x)
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}y\\
\dot{y}\\
\vdots\\
y^{(n-1)}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}h(x) \\
L_{f}h(x) \\
\vdots \\
L_{f}^{n-1}h(x)
\end{bmatrix}

преобразует фазовые траектории из начальной системы координат x в новую z. Поскольку данное преобразование является диффеоморфизмом, гладкая траектория в исходном пространстве будет иметь единственный эквивалент в пространстве z, который также будет гладким. Данные траектории в пространстве z описывают новую систему,

\begin{cases}\dot{z}_1 &= L_{f}h(x) = z_2(x)\\
\dot{z}_2 &= L_{f}^{2}h(x) = z_3(x)\\
&\vdots\\
\dot{z}_n &= L_{f}^{n}h(x) + L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}.

Таким образом, закон управления обратной связи

u = \frac{1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}(-L_{f}^{n}h(x) + v)

линейной передаточной функцией от v к z_1 = y. Получаемая в результате линеаризованная система

\begin{cases}\dot{z}_1 &= z_2\\
\dot{z}_2 &= z_3\\
&\vdots\\
\dot{z}_n &= v\end{cases}

представляет собой каскад из n интеграторов, и управление v может быть получено стандартными методами, используемыми в теории управления для линейных систем . В частности, закон управления

v = -Kz\qquad,

где вектор состояния z включает выход y и его первые (n-1) производные, что в результате даёт линейную систему

\dot{z} = Az

где

A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\
-k_1 & -k_2 & -k_3 & \ldots & -k_n
\end{bmatrix}.

Таким образом, выбирая соответствующие k, мы можем произвольно располагать полюса замкнутой линеаризованной системы.

Литература[править | править вики-текст]

  • Андреев Ю.И. Управление конечномерными линейными объектами. – М.: Наука, 1976.
  • Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. – М.: Наука, 1979.
  • Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1983.
  • Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. / Под ред. Цыпкина Я.З. – М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1991.
  • Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. – М.: Наука, Физматлит, 1992.
  • Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. – М.: Наука, 1997.
  • A. Isidori, Nonlinear Control Systems, third edition, Springer Verlag, London, 1995.
  • H. K. Khalil, Nonlinear Systems, third edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
  • M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis second edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
  • B. Friedland, Advanced Control System Design Facsimile edition, Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey, 1996.

См. также[править | править вики-текст]

нелинейное управление