Линейная интерполяция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом P1(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x0 и x1 отрезка [a, b]. В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Геометрическая интерпретация[править | править вики-текст]

Геометрически это означает замену графика функции f прямой, проходящей через точки (x_0, f(x_0)) и (x_1, f(x_1)).

График: пример линейной интерполяции

Уравнение такой прямой имеет вид:

\frac{y - f(x_0)}{f(x_1) - f(x_0)} = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}

отсюда для x \in [x_0, x_1]

f(x) \approx  y = P_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x - x_0)

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом

f(x) = P_1(x) + R_1(x)\quad

где R_1(x) — погрешность формулы:

R_1(x) = \frac{f''(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]

Справедлива оценка

|R_1(x)|\leqslant \frac{M_2}{2} \max |(x - x_0)(x - x_1)| = \frac{M_2 h^2}{8},\quad M_2 = \max_{[a, b]} |f''(x)|,\quad h = x_1 - x_0.

Матричная форма[править | править вики-текст]

можно записать P(x) = ax + b следующим образом P(x)=
\begin{pmatrix} 
a & b
\end{pmatrix}  
\begin{pmatrix} 
x \\
1 \\
\end{pmatrix}

условия будут записаны так: 
\begin{pmatrix} 
a & b
\end{pmatrix}  
\begin{pmatrix} 
x_{0} & x_{1}  \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 
P_{0} & P_{1}\\
\end{pmatrix}

отсюда можно найти: 
\begin{pmatrix} 
a & b
\end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix} 
P_{0} & P_{1}\\
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 
x_{0} & x_{1}  \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}^{-1}
Получаем:

P(x)=
\begin{pmatrix} 
P_{0} & P_{1}\\
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 
x_{0} & x_{1}  \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} 
x \\
1 \\
\end{pmatrix}
Распространяя на:


P(x,y)=
\begin{pmatrix} 
P_{0} & P_{1} & P_{2}\\
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 
x_{0} & x_{1} & x_{2} \\
y_{0} & y_{1} & y_{2} \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} 
x \\
y \\
1 \\
\end{pmatrix}


P(x,y,z)=
\begin{pmatrix} 
P_{0} & P_{1} & P_{2}& P_{3}\\
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 
x_{0} & x_{1} & x_{2} & x_{3}\\
y_{0} & y_{1} & y_{2} & y_{3} \\
z_{0} & z_{1} & z_{2} & z_{3} \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{pmatrix}

Применение[править | править вики-текст]

Линейная интерполяция применяется для уплотнения таблиц.

Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона.

См. также[править | править вики-текст]