Линейная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

 y =kx+b (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая линия, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

  • Частный случай ~b=0 линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b \neq 0 — неоднородных линейных функций.

Свойства[править | править вики-текст]

  • k является тангенсом угла, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.
  • При k>0, прямая образует острый угол с осью абсцисс.
  • При k<0, прямая образует тупой угол с осью абсцисс.
  • При k=0, прямая параллельна оси абсцисс.
  • b является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
  • При b=0, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных[править | править вики-текст]

Линейная функция n переменных x=(x_1,x_2,\dots,x_n) — функция вида

f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n

где a_0,a_1,a_2,\dots,a_n — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n-мерное пространство переменных x_1,x_2,\dots,x_n вещественных или комплексных. При a_0=0 линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные x_1,x_2,\dots,x_n и коэффициенты a_0,a_1,a_2,\dots,a_n — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n+1)-мерном пространстве переменных x_1,x_2,\dots,x_n,  y является n-мерная гиперплоскость

y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n

в частности при n=1 — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра[править | править вики-текст]

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X над некоторым полем k в это поле, то есть для такого отображения f: X\to k, что для любых элементов x,y\in X и любых \alpha,\beta\in k справедливо равенство

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики[править | править вики-текст]

Булева функция f(x_1, x_2, \dots, x_n) называется линейной, если существуют такие a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, где a_i \in \{0, 1\}, \forall i=\overline{1,n}, что для любых x_1, x_2, \dots, x_n имеет место равенство:

f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\dots\oplus a_n\cdot x_n.

Нелинейные функции[править | править вики-текст]

Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f=k x+b, где b\neq 0, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2) и f(c x) \neq c f(x). Например, нелинейной зависимостью считают \sigma (\tau) для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.