Линейная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

f (x) = k x + b .

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Частный случай $~b=0$ линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от $b \neq 0$ — неоднородных линейных функций.

[править] Свойства

$k$ является тангенсом угла, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс.
При $k > 0$ , прямая образует острый угол с осью абсцисс.
При $k < 0$ , прямая образует тупой угол с осью абсцисс.
При $k = 0$ , прямая параллельна оси абсцисс
$b$ является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
При $b = 0$ , прямая проходит через начало координат.

[править] Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция $n$ переменных $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ — функция вида

$f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

где $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё $n$ -мерное пространство переменных $x_1,x_2,\dots,x_n$ вещественных или комплексных. При $a 0 = 0$ линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные $x_1,x_2,\dots,x_n$ и коэффициенты $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в $(n + 1)$ -мерном пространстве переменных $x_1,x_2,\dots,x_n, y$ является $n$ -мерная гиперплоскость

$y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

в частности при $n = 1$ — прямая линия на плоскости.

[править] Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства $X$ над некоторым полем $k$ в это поле, то есть для такого отображения $f: X\to k$ , что для любых элементов $x,y\in X$ и любых $\alpha,\beta\in k$ справедливо равенство

f (α x + β y) = α f (x) + β f (y)

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

[править] Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям $f = k x + b$ , где $b\neq 0$ , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае $f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2)$ и $f(c x) \neq c f(x)$ . Например, нелинейной зависимостью считают $σ(τ)$ для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

[править] См. также

Логарифмический рост

[править] Ссылки

Линейная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Свойства

[править] Линейная функция нескольких переменных

[править] Абстрактная алгебра

[править] Нелинейные функции

[править] См. также

[править] Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках