Линейное дифференциальное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

~Ly = f

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция y=y(t)\,, а правая часть f=f(t)\, — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

~L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + 
A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y

Уравнения с переменными коэффициентами[править | править вики-текст]

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

~p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x)

Пример[править | править вики-текст]

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

~x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0

Уравнение первого порядка[править | править вики-текст]

Пример

Решение уравнения

~y'\left(x\right)+3\left(y\right)=2

с начальными условиями

~y\left(0\right)=2

Имеем решение в общем виде

~y=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x}\, dx + \kappa\right)

Решение неопределённого интеграла

~y=e^{-3x}\left(2/3 e^{3x} + \kappa\right)

Можно упростить до

~y=2/3 + \kappa e^{-3x}

где \kappa = 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

~y'(x) + f(x) y(x) = g(x)

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

~e^{\int f(x)\,dx}

получим

 y'(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},

используем правило дифференцирования произведения

 \left(y(x)e^{\int f(x)\,dx}\right)'=g(x)e^{\int f(x)\,dx}

что, после интегрирования обеих частей, дает нам

 y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+C ~,
 y(x) = \dfrac{\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+C }{e^{\int f(x)\,dx}} ~.

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

y'(x) + f(x) y(x) = g(x),\,

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

y(x)=e^{-{\int{f(x)\,dx}}}\left(\int g(x) e^{\int{f(x)\,dx}}\, dx + C\right)

где C является константой интегрирования.

Пример[править | править вики-текст]

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

\frac{dy}{dx} + b y = 1.

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер[неизвестный термин] системы.

В этом случае, p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} .

Уравнения с постоянными коэффициентами[править | править вики-текст]