Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Перейти к: навигация, поиск

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$\sum^{n}_{k=0} {a_k y^{(k)}(x)}=a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)}+\dots+ a_1 y' + a_0 y=f(t)$

где

$y = y (t)$ — искомая функция,
$y (k) = y (k) (t)$ — её $k$ -тая производная,
$a_0, a_1, a_2,\dots a_n$ — фиксированые числа,
$f (t)$ — заданая функция (когда $f(t)\equiv 0$ , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Содержание

1 Однородное уравнение
- 1.1 Уравнение порядка n
- 1.2 Уравнение второго порядка
2 Неоднородное уравнение
3 Уравнение Коши — Эйлера

[править] Однородное уравнение

[править] Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y=0$

интегрируется следующим образом:

Пусть $\lambda_1, \dots,\lambda_k$ — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

$a_n \lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1 \lambda + a_0 = 0$

кратностей $m_1,m_2,\dots, m_k$ , соответственно, $m_1+m_2+\dots+m_k=n$ .

Тогда функции

$t^\nu e^{\lambda_jt},\ \ 1\le j\le k,\ \ 0\le \nu \le m_j-1$

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней $\lambda_j = \alpha_j \pm i\beta_j,\ \ 1\le j\le k$ можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

$t^\nu e^{\alpha_j t}\cos (\beta_j t),\ \ t^\nu e^{\alpha_j t}\sin (\beta_j t),\ \ j\in \overline{1 \dots k},\ \ 0\le \nu \le m_j-1$

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

[править] Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

a 2 y'' + a 1 y' + a 0 y = 0

интегрируется следующим образом:

Пусть $λ 1,λ 2$ — корни характеристического уравнения.

a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0

,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта $\Delta=a_1^2 - 4a_2a_0$ :

при $Δ > 0$ уравнение имеет два различных вещественных корня

$\lambda_{1,2} =\alpha_{1,2} = \frac{-a_1 \pm \sqrt{\Delta}}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t) = c_1e^{\alpha_1 t} + c_2e^{\alpha_2 t}$

при $Δ = 0$ — двa совпадающих вещественных корня

$\lambda_1 = \lambda_2 = \alpha = \frac{-a_1}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

y (t) = c 1 e α t + c 2 t e α t

при $Δ < 0$ cуществуют два комплексно сопряженных корня

$\lambda_{1,2} =\alpha \pm i\beta = \frac{-a_1}{2a_2} \pm i\frac{ \sqrt{|\Delta|}}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

y (t) = c 1 e α t cos(β t) + c 2 e α t sin(β t)

[править] Неоднородное уравнение

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

[править] Вид общего решения неоднородного уравнения

Если дано частное решение неоднородного уравнения $y 0 (t)$ , и $y_1(t),\ldots, y_n(t)$ — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

$y(t) = c_1y_1(t) + \ldots + c_ny_n(t) + y_0(t),$

где $c_1,\dots,c_n$ — произвольные постоянные.

[править] Принцип суперпозиции

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

f (t) = f 1 (t) + f 2 (t)

,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

y 0 (t) = y 01 (t) + y 02 (t)

,

где $y_{0j}(t),\ \ j\in \overline{1,2}$ являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями $f_j(t),\ \ j\in \overline{1,2}$ , соответственно.

[править] Частный случай: квазимногочлен

В случае, когда $f (t)$ — квазимногочлен, то есть

f (t) = p (t) e α t cos(β t) + q (t) e α t sin(β t)

где $p(t),\ q(t)$ — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

y 0 (t) = (P (t) e α t cos(β t) + Q (t) e α t sin(β t)) t s

где

$P(t),\ Q(t)$ многочлены, $deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))$ , коэффициенты которых находятся подстановкой $y 0 (t)$ в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
$s$ является кратностью комплексного числа $w = α + i β$ , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

f (t) = p (t) e α t

где $p (t)$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

y 0 (t) = P (t) e α t t s

Здесь $P (t)$ — многочлен, $d e g (P) = d e g (p)$ , с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой $y 0 (t)$ в уравнение. $s$ является кратностью $α$ , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

f (t) = p (t)

где $p (t)$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

y 0 (t) = P (t) t s

Здесь $P (t)$ — многочлен, $d e g (P) = d e g (p)$ , а $s$ является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

[править] Уравнение Коши — Эйлера

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

$\sum^{n}_{k=1} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= a_n(\alpha x + \beta )^n y^{(n)}(x) + ... + a_2(\alpha x + \beta )^2 y''(x) + a_1(\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0y(x) = f(x)$ ,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида $(α x + β) = e t$ .

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Однородное уравнение

[править] Уравнение порядка n

[править] Уравнение второго порядка

[править] Неоднородное уравнение

[править] Вид общего решения неоднородного уравнения

[править] Принцип суперпозиции

[править] Частный случай: квазимногочлен

[править] Уравнение Коши — Эйлера

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках