Линейное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y=kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Лине́йным отображе́нием векторного пространства L_K над полем K в векторное пространство M_K (лине́йным опера́тором из L_K в M_K) над тем же полем K называется отображение

f\colon L_K\to M_K,

удовлетворяющее условию линейности

f(x + y) = f(x) + f(y),
f(\alpha x) = \alpha f(x).

для всех x,y\in L_K и \alpha\in K.

Пространство линейных отображений[править | править вики-текст]

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля K как

  • (f + g)(x) = f(x) + g(x)\quad \forall x\in L_K
  • (kf)(x) = kf(x)\quad \forall x\in L_K, \forall k\in K

множество всех линейных отображений из L_K в M_K превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как \mathcal{L}(L_K, M_K)

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора[править | править вики-текст]

Если векторные пространства L_K и M_K являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что \forall x \in L_K, \|Ax\|_{M_K}\leqslant N\|x\|_{L_K}. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:

\|A\|=\sup_{\|x\|\not =0} \frac {\|Ax\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\| =1} {\|Ax\|}.

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство M_Kбанахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.

Обратный оператор[править | править вики-текст]

Оператор A^{-1} называется обратным линейному оператору A, если выполняется соотношение: A^{-1}A=AA^{-1}=1

Оператор A^{-1}, обратный линейному оператору A, также является линейным непрерывным оператором. В случае если линейный оператор действует из банахового пространства в другое банахово пространство, то по теореме Банаха обратный оператор существует.

Матрица линейного оператора[править | править вики-текст]

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис \mathbf{e}_k. Пусть \mathbf{x} — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k,

где x^k — координаты вектора \mathbf{x} в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть \mathbf{A} — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k.

Вектора \mathbf{Ae}_k также разложим в выбранном базисе, получим

\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j,

где a^j_kj-я координата k-го вектора из \mathbf{Ae}_k.

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j.

Выражение a^j_kx^k, заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица a^j_k при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора \mathbf{Ax}, возникшего от действия оператора \mathbf{A} на вектор \mathbf{x}, что и требовалось получить.

(!) Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов \mathbf{e}_k. Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.

Пример преобразования[править | править вики-текст]

Векторы представлены как матрица 2 x 2, образованная сторонами соответствующего единичного квадрата, трансформируемого в параллелограмм.

Рассмотрим в качестве примера матрицу размера 2×2 следующего вида


\mathbf A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\,

может быть рассмотрена как матрица преобразования единичного квадрата в параллелограмм с вершинами (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), и (c, d). Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путем умножения матрицы A на каждый вектор-столбец \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} и \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}. Эти векторы соответствуют вершинам единичного квадрата.

В следующей таблице приведены примеры матриц 2 × 2 над вещественными числами с соответствующими им линейными преобразованиями R2. Синим цветом обозначена исходная координатная сетка, а зеленым — трансформированная. Начало координат (0,0) обозначено черной точкой.

Горизонтальный сдвиг (m=1.25) Горизонтальный поворот Сжатие (r=3/2) Масштабирование (3/2) Поворот (π/6R = 30°)
\begin{bmatrix}
1 & 1.25  \\
0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
-1 & 0  \\
0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
3/2 & 0  \\
0 & 2/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
3/2 & 0  \\
0 & 3/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos(\pi / 6^{R}) & -\sin(\pi / 6^{R})\\ \sin(\pi / 6^{R}) & \cos(\pi / 6^{R})\end{bmatrix}
VerticalShear m=1.25.svg Flip map.svg Squeeze r=1.5.svg Scaling by 1.5.svg Rotation by pi over 6.svg

Важные частные случаи[править | править вики-текст]

  • Линейная форма — линейный оператор, для которого  M = K:
        f\colon L_K\to K
  • Эндоморфизм — линейный оператор, для которого L = M:
        f\colon L_K\to L_K
  • Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор x \mapsto x, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
  • Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент L_K в нулевой элемент M_K.
  • Проектор — оператор сопоставляющий каждому x его проекцию на подпространство.
  • Сопряжённый оператор к оператору A \in L(V) — оператор A^* на V^*, заданный соотношением (A^*f,x) := (f,Ax).
  • Самосопряженный — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
  • Эрмитов или симметрический — такой оператор A, что (Ax,y)=(x,Ay) для всех пар x,y из области определения A. Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.
  • Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение (Ax,Ay)=(x,y), в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора \|Ax\|=\sqrt{(Ax,Ax)}=\sqrt{(x,x)}=\|x\|; оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором A^{-1}=A^*; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным;
  • Положительно определённый оператор. Пусть L_K,\ M_Kгильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если \forall x\in X, (Ax, x)>0.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

  • Образом подмножества[1] M\subset L_K относительно линейного отображения A называется множество AM=\{Ax:  x\in M\}.
  • Ядром линейного отображения f\colon A\to B называется подмножество A, которое отображается в нуль:
    \mbox{Ker}\,f = \{ x\in A\mid f(x) = 0 \}
Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве A.
  • Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B:
    \mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in B\mid x \in A \}
Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве B.
  • Отображение f\colon A\times B \to C прямого произведения линейных пространств A и B в линейное пространство C называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.
  • Оператор \tilde L называется линейным неоднородным (или аффинным), если он имеет вид
    \tilde L = L + v
где L — линейный оператор, а v — вектор.
  • Пусть A:L_K\to L_K. Подпространство M\subset L_K называется инвариантным относительно линейного отображения, если \forall x\in M, Ax\in M[2].
Критерий инвариантности. Пусть M\subset X — подпространство,такое что X разлагается в прямую сумму: X=M\oplus N. Тогда M инвариантно относительно линейного отображения A тогда и только тогда, когда P_MAP_M=AP_M, где P_M - проектор на подпространство M.
  • Фактор-операторы[3]. Пусть A:L_K\to L_K — линейный оператор и пусть M — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем фактор-пространство L_K/\,\overset{M}{\sim} по подпространству M. Тогда фактор-оператором называется оператор A^+ действующий на L_K/\,\overset{M}{\sim} по правилу: \forall x^+\in L_K/\,\overset{M}{\sim}, A^+ x^+=[Ax], где [Ax] — класс из фактор-пространства, содержащий Ax.

Примеры[править | править вики-текст]

Примеры линейных однородных операторов:

  • оператор дифференцирования: L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt};
  • оператор интегрирования: y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau;
  • оператор умножения на определённую функцию \varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t);
  • оператор интегрирования с заданным «весом» \varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau
  • оператор взятия значения функции f в конкретной точке x_0: L\{f\}=f(x_0)[4];
  • оператор умножения вектора на матрицу: b=Ax;
  • оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

где \varphi(t), \varphi_1(t), \varphi_2(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. M не обязано быть подпространством.
  2. Или: AM\subset M.
  3. Также употребляется написание фактороператоры.
  4. Иногда обозначается как \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(x){\delta}(x-x_0)\,dx

См. также[править | править вики-текст]