Линейное отображение

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение

Лине́йным отображе́нием векторного пространства L_K над полем K в векторное пространство M_K (лине́йным опера́тором из L_K в M_K) над тем же полем K называется отображение

$f\colon L_K\to M_K$,

удовлетворяющее условию линейности

f(x + y) = f(x) + f(y),

f(αx) = αf(x).

для всех $x,y\in L_K$ и $\alpha\in K$.

Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля K как

• $(f + g)(x) = f(x) + g(x)\quad \forall x\in L_K$
• $(kf)(x) = kf(x)\quad \forall x\in L_K, \forall k\in K$

множество всех линейных отображений из L_K в M_K превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как $\mathcal{L}(L_K, M_K)$

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора

Если векторные пространства L_K и M_K являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что $\forall x \in L_K, \|Ax\|_{M_K}\leqslant N\|x\|_{L_K}$. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:

$\|A\|=\sup_{\|x\|\not =0} \frac {\|Ax\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\| =1} {\|Ax\|}.$

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство.

Важные частные случаи

• Линейный функционал — линейный оператор, для которого M = K:
      $f\colon L_K\to K$
• Эндоморфизм — линейный оператор, для которого L = M:
      $f\colon L_K\to L_K$
• Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор $x \mapsto x$, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент L_K в нулевой элемент M_K.
• Проектор — оператор сопоставляющий каждому x его проекцию на подпространство.
• Сопряжённый оператор к оператору $A \in L(V)$ — оператор A ^* на V ^* , заданный соотношением (A ^* f,x): = (f,Ax).
• Самосопряжённый оператор — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
• Эрмитов (или симметрический) оператор — такой оператор A, что (Ax,y) = (x,Ay) для всех пар x,y из области определения A. Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.
• Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение (Ax,Ay) = (x,y), в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора $\|Ax\|=\sqrt{(Ax,Ax)}=\sqrt{(x,x)}=\|x\|$; оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором A ^{− 1} = A * ; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным;
• Положительно определённый оператор. Пусть $L_K,\ M_K$ — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительным, если $\forall x\in X, (Ax, x)>0$.

Связанные понятия

• Образом подмножества $M\subset L_K$ относительно линейного отображения A называется множество $AM=\{Ax: x\in M\}$.
• Ядром линейного отображения $f\colon A\to B$ называются подмножество A, которое отображается в нуль:

  $\mbox{Ker}\,f = \{ x\in A\mid f(x) = 0 \}$

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве A.

• Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B:

  $\mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in B\mid x \in A \}$

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве B.

• Отображение $f\colon A\times B \to C$ прямого произведения линейных пространств A и B в линейное пространство C называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств $f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B$ называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.

• Оператор $\tilde L$ называется линейным неоднородным (или афинным), если он имеет вид

  $\tilde L = L + v$

где L — линейный оператор, а v — вектор.

• Пусть $A:L_K\to L_K$. Подпространство $M\subset L_K$ называется инвариантным относительно линейного отображения, если $\forall x\in M, Ax\in M$.

Критерий инвариантности. Пусть $M\subset X$ — подпространство,такое что X разлагается в прямую сумму: $X=M\oplus N$. Тогда M инвариантно относительно линейного отображения A тогда и только тогда, когда P_MAP_M = AP_M, где P_M - проектор на подпространство M.

• Фактор-операторы. Пусть $A:L_K\to L_K$ — линейный оператор и пусть M — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем фактор-пространство $L_K/\,\overset{M}{\sim}$ по подпространству M. Тогда фактор-оператором называется оператор A ⁺ действующий на $L_K/\,\overset{M}{\sim}$ по правилу: $\forall x^+\in L_K/\,\overset{M}{\sim}, A^+ x^+=[Ax]$, где [Ax] — класс из фактор-пространства, содержащий Ax.

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

• оператор дифференцирования: $L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt}$;
• оператор интегрирования: $y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau$;
• оператор умножения на определённую функцию φ(t):y(t) = φ(t)x(t);
• оператор интегрирования с заданным «весом» $\varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau$
• оператор взятия значения функции f в конкретной точке x₀: L{f} = f(x₀);
• оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax;
• оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

• Любое аффинное преобразование;
• $y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+\varphi(t)$;
• $y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau+\varphi(t)$;
• y(t) = φ₁(t)x(t) + φ₂(t);

где φ(t), φ₁(t), φ₂(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.

См. также

• Линейный непрерывный оператор
• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал