Линейно-квадратичное гауссовское управление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Линейно-квадратичное гауссовское управление (англ. Linear quadratic Gaussian control, LQG control) — набор методов и математического аппарата теории управления для синтеза систем управления с отрицательной обратной связью для линейных систем с аддитивным гауссовским шумом. Синтез проводится путём минимизации заданного квадратичного функционала.

Обзор[править | править исходный текст]

Линейно-квадратичное гауссовское (ЛКГ) управление относится к современным методам управления. Методология синтеза контроллера позволяет отнести системы управления, построенные на таком принципе, к оптимальным системам, в которых оптимизация проводится по некоторому заданному квадратичному критерию качества. Также эта теория принимает в расчёт присутствие возмущений в виде гауссова белого шума. Однако несмотря на то, что синтез ЛКГ-контроллеров предусматривает систематическую процедуру расчёта для оптимизации качества системы, главным его недостатком является то, что в рассмотрение не принимается робастность системы. Поэтому ЛКГ-синтез проводится только для систем, имеющих надёжную и точную линейную динамическую модель. Для повышения робастности системы управления применяют более сложные алгоритмы, такие как минимаксный ЛКГ синтез, или комбинированный ЛКГ/H∞ синтез. ЛКГ контроллеры могут использоваться как для дискретных, так и для непрерывных систем.

ЛКГ-синтез[править | править исходный текст]

Файл:LQG-scheme RUS.PNG
ЛКГ-регулятор в контуре управления.

В процессе ЛКГ-синтеза получается оптимальный регулятор \! F(s) для некоторого объекта управления \! G(s).

Представим модель системы в пространстве состояний:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t) +  \mathbf{\xi}(t)
\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t) + \mathbf{\theta}(t),

где

x(\cdot) — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы y(\cdot) — вектор выхода, u(\cdot) вектор управления, \xi(\cdot) — возмущения, действующие на объект управления, \theta(\cdot) — шум измерения (датчики, АЦП и т. п.), A \! — матрица системы, B \! — матрица управления, C \! — матрица выхода и D \! — матрица прямой связи.

Шум объекта управления и шум измерения считаются белыми с гауссовым распределением.

Тогда задача синтеза ЛКГ-регулятора будет заключаться в минимизации некоторого функционала качества, который задаётся в виде:

\mathcal{J} =  \lim_{T \to \infty} E \int\limits_{0}^{T} \left[ x^T(t)Rx(t) + u^T(t)Qu(t) \right] \, dt

Матрицы R \! и Q \! представляют собой параметры функционала качества и являются положительно-определёнными матрицами.

Описанная выше методология подходит также для синтеза ЛКГ-оптимальных регуляторов и для дискретных систем. Функционал качества в этом случае задаётся соотношением:

\mathcal{J} =  E \sum_{k=0}^{\infty} \left[ x^T(k)Rx(k) + u^T(k)Qu(k) \right] \,

Функционал качества минимизируется стандартными методами теории оптимального управления. Получившийся в результате регулятор будет ЛКГ-оптимальным регулятором.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов//Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 7. — С.96-106.
  • Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х томах. Т.3: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 748с.
  • M. Athans. «The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem in Control System Design», IEEE Trans. Automat. Contr., AC-16, pp. 529—552, Dec. 1971.