Линейчатая поверхность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Линейчатый геликоид
Линейчатый гиперболоид
Гиперболический параболоид

Линейчатая поверхность в дифференциальной геометрииповерхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой.

Если p(u) ― радиус-вектор направляющей, a m=m(v) ― единичный вектор образующей, проходящей через p(u), то радиус-вектор линейчатой поверхности есть

r=p(u)+vm(u),

где v ― координата точки на образующей.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Линейчатая поверхность характеризуется тем, что ее асимптотическая сеть ― полугеодезическая.
  • Гауссова кривизна линейчатой поверхности K \leq 0.
  • Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.
  • Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность F, не являющаяся развёртывающейся, изгибается в линейчатую поверхность F', то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.
  • Единственная минимальная линейчатая поверхностьгеликоид.
  • Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость.
  • Если все прямолинейные образующие линейчатой поверхности параллельны одной плоскости, то она представляет собой поверхность Каталана.

Литература[править | править исходный текст]