Линзовое пространство

Линзовое пространство — многообразие нечётной размерности, являющееся факторпространством $S^{2n-1}/ \Z_p$ сферы $S^{2n-1}$ по изометрическому свободному действию циклической группы $\Z_p$.

Сферу $S^{2n-1}$ всегда возможно расположить в комплексном пространстве $\mathbb C^{n}$ с фиксированным базисом, так чтобы образующая $\Z_p$, действовала на каждой координате $z_i$ умножениями на $\xi_p^{q_i}$ где $\xi_p=\exp{2\pi i/p}$. Такое действие является свободным тогда и только тогда, когда для каждого $i$, $q_i$ взаимнопросто с $p$. Это пространство обычно обозначается $L(p;q_1,\ldots,q_n)$.

Фундаментальную область действия $\Z_p$ на $S^{2n-1}$ удобно представлять себе в виде «линзы» — пересечение двух полусфер — откуда и возникло название «линзовое пространство».

Свойства

• Прямой предел линзовых пространств при $n\to\infty$ дает пространство Эйленберга — Маклейна типа $K(\Z_p, 1)$.
• В трехмерном случае линзовое пространство совпадают с многообразиями, имеющими диаграмму Хегора рода 1, и поэтому они являются многообразиями Зейферта.