Липшицево отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Липшицево отображение — отображение f\colon X\to Y между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение f метрического пространства (X,\;\rho_X) в метрическое пространство (Y,\;\rho_Y) называется липшицевым, если найдётся некоторая константа L (константа Липшица этого отображения), такая, что

\rho_Y(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;y)

при любых x,\;y\in X. Это условие называют условием Липшица.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также L-липшицевым.
  • Нижняя грань чисел L, удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, называется константой Липшица отображения f.
  • Отображение f\colon X\to Y называется билипшицевым, если у него существует обратное f^{-1}\colon Y\to X и оба f и f^{-1} являются липшицевыми.
  • Отображение f\colon X\to Y называется колипшицевым, если существует константа L, такая, что для любых x\in X и y\in Y найдётся x'\in f^{-1}(y) такое, что
    \rho_Y(f(x),\;y)\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;x').

Свойства[править | править исходный текст]

  • Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
  • Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
  • Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так:
\omega(f,\;\delta)\leqslant L{\cdot}\delta.

История[править | править исходный текст]

Отображения со свойством

|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot}|x-y|^\alpha,\quad\alpha\leqslant 1

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при \alpha=1, а при \alpha<1 — условием Гёльдера.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]