Диофантовы и лиувиллевы числа

В математике, иррациональное число x называется диофантовым, если при его приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя:

$\exists C, \alpha>0: \quad \forall p\in \Z, q\in\N \quad \left|x-\frac{p}{q} \right| \ge \frac{C}{q^{\alpha}}.$

В противном случае, число $x$ называют лиувиллевым.

Свойства

• Всякое алгебраическое иррациональное число диофантово. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.
• Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега.
• Напротив, лиувиллевы числа типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно.

См. также

• Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел