Логарифмическая производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Логарифмическая произво́днаяпроизводная от натурального логарифма функции.

(\ln f)' = \frac{f'}{f}

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных.

Применение[править | править вики-текст]

Производная сложно-показательной функции[править | править вики-текст]

Пусть ~f(x)=u(x)^{g(x)} (для краткости ~f=u^{g}, где u и g - функции).

Тогда ~\ln f = \ln u^g =g\ln u, ~(\ln f)' = (g\ln u)'=g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u}. С другой стороны, (\ln f)' = \frac{f'}{f}, т.е. f' = f\cdot(\ln f)'.

Окончательно имеем (u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})

Производная произведения функций[править | править вики-текст]

Пусть задана функция ~f(x) = \prod^{n}_{i=1} g_i(x) (для краткости ~f = \prod^{n}_{i=1} g_i).

Так как ~f' = f\cdot(\ln f)'= \prod^{n}_{i=1} g_i (\ln \prod^{n}_{j=1} g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i (\sum^{n}_{j=1} \ln g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} (\ln g_j)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}.

Окончательно получаем: ~f' = (\prod^{n}_{i=1} g_i)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}=f\cdot\sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}.


Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если ~f = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n, то ~f' = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n\cdot \left ( \frac{g_1'}{g_1}+\frac{g_2'}{g_2}+\ldots+\frac{g_n'}{g_n} \right )
Раскрыв скобки, получим: ~f' = g_1'\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n + g_1\cdot g_2'\cdot \ldots\cdot g_n + \ldots + g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n'


В частности, если ~f=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}, то ~f'=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}\cdot \left( \alpha_1\cdot\frac{u_1'}{u_1}+\alpha_2\cdot\frac{u_2'}{u_2}+\ldots+\alpha_m\cdot\frac{u_m'}{u_m} - \beta_1\cdot\frac{v_1'}{v_1}-\beta_2\cdot\frac{v_2'}{v_2}-\ldots-\beta_n\cdot\frac{v_n'}{v_n} \right)

Пример[править | править вики-текст]

Найдем производную, \frac{df}{dx} от функции f(x) = x^x:

\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)

См. также[править | править вики-текст]