Логарифмическое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Логарифмическое распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение \mathrm{Log}(p)\,
Параметры 0 < p < 1\!
Носитель k \in \{1,2,3,\dots\}\!
Функция вероятности \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!
Функция распределения 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!
Математическое ожидание \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!
Медиана
Мода 1
Дисперсия -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!
Характеристическая функция \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины Y\! задаётся функцией вероятности:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots,

где 0 <p < 1\!. Тогда говорят, что Y\! имеет логарифмическое распределение с параметром p\!. Пишут: Y \sim \mathrm{Log}(p)\!.

Функция распределения случайной величины Y\! кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

F_Y(y) = \left\{
\begin{matrix}
0, & y < 1 & \\
1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in [k,k+1),\; & k=1,2,3,\ldots
\end{matrix}\right.,

где \mathrm{B}_p\! — неполная бета-функция.

Замечание[править | править вики-текст]

То, что функция p_Y(k)\! действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

\ln(1-p) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left[ - \frac{p^k}{k} \right],\; 0<p<1,

откуда

\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1.

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов случайной величины Y \sim \mathrm{Log}(p)\! задаётся формулой

M_Y(t) = \frac{\ln\left[1 - p e^t\right]}{\ln[1-p]},

откуда

\mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p},
\mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть \{X_i\}_{i=1}^n последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots. Пусть N \sim \mathrm{P}(\lambda)\! — Пуассоновская случайная величина. Тогда

Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB}.
Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула