Логарифмическое распределение

Логарифмическое распределение

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm{Log}(p)\,$
Параметры	$0 < p < 1\!$
Носитель	$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$
Функция вероятности	$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!$
Функция распределения	$1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!$
Математическое ожидание	$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!$
Медиана
Мода	$1$
Дисперсия	$-p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!$
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!$
Характеристическая функция	$\frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!$

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины $Y\!$ задаётся функцией вероятности:

$p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots$,

где $0 <p < 1\!$. Тогда говорят, что $Y\!$ имеет логарифмическое распределение с параметром $p\!$. Пишут: $Y \sim \mathrm{Log}(p)\!$.

Функция распределения случайной величины $Y\!$ кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

$F_Y(y) = \left\{ \begin{matrix} 0, & y < 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in [k,k+1),\; & k=1,2,3,\ldots \end{matrix}\right.,$

где $\mathrm{B}_p\!$ — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция $p_Y(k)\!$ действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

$\ln(1-p) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left[ - \frac{p^k}{k} \right],\; 0<p<1$,

откуда

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1$.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины $Y \sim \mathrm{Log}(p)\!$ задаётся формулой

$M_Y(t) = \frac{\ln\left[1 - p e^t\right]}{\ln[1-p]}$,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p}$,

$\mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}$.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть $\{X_i\}_{i=1}^n$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что $X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots$. Пусть $N \sim \mathrm{P}(\lambda)\!$ — Пуассоновская случайная величина. Тогда

$Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB}$.