Логистическое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Логистическое распределение
Плотность вероятности
Standard logistic PDF
Функция распределения
Standard logistic CDF
Обозначение L(\mu,s)
Параметры \mu\,
s>0\,
Носитель x \in (-\infty; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!
Функция распределения \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!
Математическое ожидание \mu\,
Медиана \mu\,
Мода \mu\,
Дисперсия \frac{\pi^2}{3} s^2\!
Коэффициент асимметрии 0\,
Коэффициент эксцесса 6/5\,
Информационная энтропия \ln(s)+2\,
Производящая функция моментов e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!
для |s\,t|<1\!, Бета-функция
Характеристическая функция e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,
для |ist|<1\,

Логисти́ческое распределе́ние в теории вероятностей и математической статистике — один из видов абсолютно непрерывных распределений. Формой напоминает нормальное распределение, но имеет более «тяжёлые» концы и больший коэффициент эксцесса.

Определение[править | править вики-текст]

Функция плотности[править | править вики-текст]

Функция плотности вероятности логистического распределения задаётся формулой:

f(x; \mu,s) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2} \!
=\frac{1}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).

Альтернативная параметризация задается подстановкой \sigma^2 = \pi^2\,s^2/3. Тогда функция плотности имеет вид:

g(x;\mu,\sigma) = f(x;\mu,\sigma\sqrt{3}/\pi) = \frac{\pi}{\sigma\,4\sqrt{3}} \,\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \,\frac{x-\mu}{\sigma}\right).

Функция распределения[править | править вики-текст]

Кумулятивной функцией распределения является логистическая функция:

F(x; \mu,s) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}} \!
= \frac12 + \frac12 \;\operatorname{tanh}\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).

Квантили[править | править вики-текст]

Обратная функция к кумулятивной функции распределения (F^{-1}), обобщение logit-функции:

F^{-1}(p; \mu,s) = \mu + s\,\ln\left(\frac{p}{1-p}\right).

Моменты распределения[править | править вики-текст]

Математическое ожидание[править | править вики-текст]

E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} {\frac{xe^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}} \! dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right)dx
Подставляем: u=\frac{(x-\mu)}{2s}, du=\frac{1}{2s} dx
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\,s\,u+\mu}{2} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du
E[X]=s\int_{-\infty}^{\infty} u \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du + \frac{\mu}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du
Справедливо равенство: \int_{-\infty}^{\infty} u \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du = 0
E[X]=\frac{\mu}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du = \frac{\mu}{2}\,2 = \mu

Моменты высших порядков[править | править вики-текст]

Центральный момент n-го порядка может быть вычислен как:

\begin{align}
    \operatorname{E}[(X-\mu)^n] 
      &= \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^n dF(x) = \int_0^1 \big(F^{-1}(p)-\mu\big)^n dp \\
      &= s^n \int_0^1 \Big[ \ln\!\Big(\frac{p}{1-p}\Big) \Big]^n \, dp. 
  \end{align}

Интеграл может быть выражен через числа Бернулли:


    \operatorname{E}[(X-\mu)^n] = s^n\pi^n(2^n-2)\cdot|B_n|.

Литература[править | править вики-текст]

  • N. Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
  • Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0.
Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула