Логнормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Логнормальное
Плотность вероятности
График плотности
μ=0
Функция распределения
График функции распределения
μ=0
Обозначение \ln N(\mu,\sigma^2)\,, LN(\mu,\sigma^2)\,
Параметры \sigma \ge 0
-\infty \le \mu \le \infty
Носитель x \in (0; +\infty)\!
Плотность вероятности \exp\left(-\left.\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}\right]^2\right/2\right) \left/ \left(x\sigma\sqrt{2\pi}\right) \right.
Функция распределения \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]
Математическое ожидание e^{\mu+\sigma^2/2}
Медиана e^{\mu}
Мода e^{\mu-\sigma^2}
Дисперсия (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}
Коэффициент асимметрии (e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}
Коэффициент эксцесса e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6
Информационная энтропия \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu
Производящая функция моментов \operatorname{E}[X^s] = e^{s\mu + \tfrac{1}{2}s^2\sigma^2}.
Характеристическая функция \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}


Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

f_X(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2},

где x > 0,\; \sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}. Тогда говорят, что X имеет логнормальное распределение с параметрами \mu и \sigma. Пишут: X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ .

Моменты[править | править вики-текст]

Формула для k-го момента логнормальной случайной величины X имеет вид:

\mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},

откуда в частности:

\mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}},
\mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

\alpha_{n} = e^{ (\mu, n) + \frac{1}{2}(n, \Sigma n)}, где \mu и \Sigma — параметры многомерного совместного распределения. n — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, n=(2,0) — второй нецентральный момент первой компоненты, n=(1,1) — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения[править | править вики-текст]

Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{LogN}\left(n\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right).

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • Если X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ , то Y = \ln(X) \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \ .

И наоборот, если Y \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \ , то X = \exp(Y) \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ .

Моделирование логнормальных случайных величин[править | править вики-текст]

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула