Локально конечное семейство подмножеств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей топологии локальная конечность является свойством семейства подмножеств топологического пространства. Это понятие является естественным обобщением понятия конечного семейства и играет ключевую роль при изучении паракомпактности и топологической размерности.

Заметим, что термин локальная конечность в других областях математики имеет отличные значения.

Определение[править | править вики-текст]

Семейство S=\{A_i; i\in I\} подмножеств топологического пространства X называется локально конечным, если всякая точка x\in X обладает окрестностью U, пересекающейся с не более чем конечным числом элементов из этого семейства, то есть U\cap A_i=\emptyset для всех i\in I, кроме, быть может, конечного числа индексов. Если же любая точка x\in X обладает окрестностью U, пересекающейся не более чем с одним из элементов этого семейства, то семейство называется дискретным.


Очевидно, что конечное семейство является локально конечным, тогда как локально конечное семейство может иметь любую мощность.

Например, рассмотрим бесконечное семейство интервалов (n,n+2) на действительной прямой R (здесь n — произвольное целое число). Каждая точка x\in R имеет окрестность, которая пересекается не более чем с двумя интервалами семейства, то есть семейство является локально конечным.

В общем случае, счётное семейство не обязано быть локально конечным: достаточно рассмотреть семейство интервалов (-n,n) на действительной прямой.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для локально конечного семейства \{A_i; i\in I\} справедливо равенство: \overline{\cup_{i\in I}A_i}=\cup_{i\in I}\overline{A_i}

Как известно, это свойство выполняется для конечного семейства подмножеств, но в общем случае это не так. Можно только утверждать, что \cup_{i\in I}\overline{A_i}\subseteq\overline{\cup_{i\in I}A_i}. Как следствие первого свойства:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979