Окольцованное пространство

Окольцованное пространство — топологическое пространство, каждому открытому множеству которого сопоставлено коммутативное кольцо «функций» на этом множестве. Окольцованные пространства, в частности, используются при определении схем.

Определение

Окольцованное пространство $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ — это топологическое пространство $X$ вместе с пучком коммутативных колец ${\mathcal {O}}_{X}$ на нём. Этот пучок называется структурным пучком пространства $X$.

Локально окольцованное пространство — это окольцованное пространство, такое что слой пучка ${\mathcal {O}}_{X}$ в любой точке — локальное кольцо.

Примеры

Любое топологическое пространство можно наделить структурой локально окольцованного пространства, если рассмотреть пучок непрерывных действительнозначных функций на нём. Слой этого пучка в точке x — кольцо ростков непрерывных действительнозначных функций в x — является локальным кольцом, единственный максимальный идеал которого — ростки функций, равных нулю в x. Аналогичным образом, гладкое многообразие с пучком гладких функций является локально окольцованным пространством.

Если X — алгебраическое многообразие с топологией Зарисского (например, спектр некоторого кольца), структуру локально окольцованного пространства на нём вводят следующим образом: ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ — множество рациональных функций, определённых на всём U. Такое окольцованное пространство называют аффинной схемой, общие схемы определяют как результат «склейки» нескольких аффинных схем.

Морфизмы окольцованных пространств

Для того, чтобы задать морфизм из $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ в $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$, нужно зафиксировать следующую информацию:

• Непрерывное отображение $f:X\to Y$.
• Для каждого открытого подмножества $U\in Y$ — гомоморфизм колец $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$.

Гомоморфизмы колец должны быть согласованы со структурой пучка, то есть коммутировать с отображениями ограничения. А именно, если $V_{1}\subset V_{2}$ — открытые подмножества $Y$, следующая диаграмма должна быть коммутативной:

Морфизмы локально окольцованных пространств должны удовлетворять ещё одному требованию. Гомоморфизмы $\varphi$ для каждой точки $x\in X$ индуцируют гомоморфизм из слоя ${\mathcal {O}}_{Y}$ в точке $f(x)$ в слой ${\mathcal {O}}_{X}$ в точке $x$. Требуется, чтобы все эти гомоморфизмы были локальными, то есть переводили максимальный идеал прообраза в подмножество максимального идеала образа.

Касательное пространство

Основная статья: Касательное пространство Зарисского

Структура локально окольцованного пространств позволяет ввести осмысленное определение касательного пространства в его точке. Рассмотрим точку $x\in X$ окольцованного пространства $(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Рассмотрим локальное кольцо $R_{x}$ (слой пучка в точке x) с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}_{x}$. Тогда $R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ — поле, ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ — векторное пространство над этим полем. Касательное пространство в точке $x$ определяется как двойственное к этому пространству.

Идея состоит в следующем: касательное пространство состоит из векторов, вдоль которых можно «дифференцировать» «функции» в данной точке, то есть элементы кольца $R_{x}$. Достаточно найти способ дифференцирования функций, значение которых в данной точке равно нулю, так как остальные отличаются от них на константу, то есть достаточно описать производные функций из ${\mathfrak {m}}_{x}$. При этом дифференциал произведения двух функций из ${\mathfrak {m}}_{x}$ равен нулю (мы хотим, чтобы формула производной произведения осталась верной). Следовательно, вектор должен присваивать число каждому элементу ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$, и это то, что делают элементы двойственного пространства.

Легко проверить, что в случае гладких многообразий с пучком гладких функций это определение совпадает с обычным. С другой стороны, в случае топологического пространства с пучком непрерывных (вещественнозначных) функций ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$, так как для непрерывной функции $f(x)$ функция ${\sqrt {|f(x)|}}$ также непрерывна. Следовательно, в этом случае касательное пространство в любой точке имеет размерность 0.

Литература

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Архивная копия от 6 марта 2016 на Wayback Machine Publications Mathématiques de l’IHÉS 4. Section 0.4.
• Окольцованное пространство — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик