Локсодрома

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Локсодрома от полюса до полюса

Локсодрома или локсодромия — кривая на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под постоянным углом, называемым локсодромическим путевым углом. Введена в рассмотрение португальским математиком Нониусом в 1530 году[1]. Формулы, задающие локсодрому сферы в декартовой системе координат, имеют вид:

x=r\frac{\cos\lambda}{\mathrm{ch}[m(\lambda-\lambda_0)]};
y=r\frac{\sin\lambda}{\mathrm{ch}[m(\lambda-\lambda_0)]};
z=r\,\mathrm{th}[m (\lambda-\lambda_0)].

В геодезии и картографии[править | править исходный текст]

На поверхности Земли локсодромами являются все параллели и все меридианы. Остальные локсодромы являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам. Тем не менее, если путешественник будет двигаться по любой локсодроме (кроме параллелей) с постоянной скоростью не останавливаясь, то он обязательно придёт к одному из полюсов за конечное время. Картографическая проекция, в которой все локсодромы изображены прямыми, называется проекцией Меркатора.

В навигации[править | править исходный текст]

Если передвигаться с фиксированным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или эллипсоид, то траектория движения объекта и будет локсодромией[2]. Локсодрома не является кратчайшим путём между двумя пунктами (исключение — меридианы и экватор). Тем не менее, в старину суда и путешественники нередко двигались по локсодромам, так как идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компаса мореплаватели перешли на движение по «магнитным локсодромам», то есть по линиям с постоянным углом к магнитному северу, что дало возможность продолжать движение и в облачную погоду. Но как только были выяснены магнитные склонения во всех местах Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Даже в XX веке локсодромия использовалась при расчёте требуемого курса при прокладке маршрута самолётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с достаточной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла, начали активно применять ортодромию (кратчайший путь), особенно для дальних маршрутов самолётов[3].

Построение локсодромы сферы[править | править исходный текст]

Для того чтобы на полетных картах проложить локсодромический путь, необходимо соединить конечные точки маршрута прямой линией и измерить путевой угол у среднего меридиана. Точнее, локсодромический путевой угол рассчитывается как средний угол, снятый у начальной и конечной точек маршрута. После этого полученный путевой угол строят последовательно у всех меридианов на карте, начиная от пункта вылета. Полученная при построении ломаная линия практически близко подходит к локсодромии. Более точно локсодромический путевой угол a может быть вычислен по формуле:

\mathrm{tg} \alpha = \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\varphi_2 - \varphi_1} \cos \varphi_m,

где α — искомый путевой угол; φ1 и φ2 — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в минутах дуги; λ1 и λ2 — долготы этих пунктов, выраженные в минутах дуги; φm — средняя широта перелета в градусах.

Пример. Определить истинный локсодромический путевой угол a при полете из г. Реймса в г. Потсдам.

Решение. Определяем координаты:
— Реймса φ1 = 49°15' = 2955'; λ1 = 4°02'.= 242'; — Потсдама φ2 = 52°24' = 3144'; λ2 = 13°04' = 784';
средняя широта φср = 50°50'; cos 50°50' = 0,6316. Следовательно, tg α = ((784—242) / (3144 — 2955))*0,6316 = 1,806 α = 61°.

Полученный результат будет правильным, если конечная точка маршрута лежит в первой четверти (0 — 90°). Если конечная точка лежит во второй четверти (90° — 180°), искомый путевой угол получают, вычитая полученное число градусов из 180°. Если же конечная точка находится в третьей четверти (180° — 270°), к полученному углу прибавляют 180°, а если в четвертой четверти (270° — 360°), то полученный угол вычитают из 360°.

Длина локсодромии в км определяется по формулам: а) Для углов α, близких к 0° или 180°, S = 1,852*(φ2 — φ1) / cos α, где φ1 и φ2 — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в морских милях (минутах), или S = 111,18*(φ2 — φ1) / cos α где φ1 и φ2 выражены в градусах. Решая предыдущий пример по первой формуле, получим: S = 1,852*(3144 — 2955) / 0,4848 @ 722 км. б) Для углов α, близких к 90° или 270°, S = ((l2 — l1) / sin α) cos φср * 1,852. Разность между длинами локсодромии и ортодромии DS достигает своей максимальной величины при полете вдоль параллели.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. III, n. 39.
  2. Это нетрудно доказать, используя определения путевого угла и определение локсодромии.
  3. Для экономии топлива и сокращения времени в пути.

Ссылки[править | править исходный текст]