Лоренц-ковариантность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лоренц-ковариантность — свойство физических законов записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета (с учётом преобразований Лоренца). Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась Лоренц-ковариантность[источник не указан 334 дня].

Терминология[править | править вики-текст]

Лоренц-ковариантность физических законов[править | править вики-текст]

Лоренц-ковариантность физических законов — конкретизация принципа относительности (т. е. постулируемого требования независимости результатов физических экспериментов и записи уравнений от выбора конкретной системы отсчёта). Исторически эта концепция стала ведущей при включении в сферу действия принципа относительности (раньше формулировавшегося с применением не преобразования Лоренца, а преобразования Галилея) максвелловской электродинамики, уже тогда лоренц-ковариантную и не имевшую видимых возможностей переделки для ковариантности относительно преобразований Галилея, что привело к распространению требования лоренц-ковариантности и на механику и вследствие этого к изменению последней.

Лоренц-инвариантные величины[править | править вики-текст]

Лоренц-инвариантностью называют свойство какой-нибудь величины сохраняться при преобразованиях Лоренца (обычно имеется в виду скалярная величина, однако встречается и применение этого термина к 4-векторам или тензорам, имея в виду не их конкретное представление, а «сами геометрические объекты»).

Согласно теории представлений группы Лоренца, лоренц-ковариантные величины, помимо скаляров, строятся из 4-векторов, спиноров и их тензорных произведений (тензорные поля).

«инвариантность» vs «ковариантность»[править | править вики-текст]

В последнее время наметилось вытеснение термина лоренц-ковариантность термином лоренц-инвариантность, который всё чаще применяется равно и к законам (уравнениям), и к величинам [источник не указан 1232 дня]. Трудно сказать, является ли это уже нормой языка, или всё же скорее некоторой вольностью употребления. Однако в более старой литературе имелась тенденция строгого разграничения этих терминов: первый (ковариантность) употреблялся по отношению к уравнениям и многокомпонентным величинам (представлениям тензоров, в том числе векторов, и самим тензорам, т. к. часто не проводилось терминологической грани между тензором и набором его компонент), подразумевая согласованное изменение компонент всех входящих в равенства величин или просто согласованное друг с другом изменение компонент разных тензоров (векторов); второй же (инвариантность) применялся, как более частный, к скалярам (также к скалярным выражениям), подразумевая простую неизменность величины.

Примеры[править | править вики-текст]

Скаляры[править | править вики-текст]

Синонимом слов лоренц-инвариантная величина в 4-мерном пространственно-временном формализме является термин скаляр, который для полной конкретизации подразумеваемого контекста иногда называют лоренц-инвариантным скаляром.

Интервал:

\Delta s^2=\eta_{ab} x^a x^b=c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2\

Собственное время: при равномерном движении:

\Delta \tau = \sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\, \Delta s^2 > 0

в общем случае:

\Delta \tau = \int d\tau = \frac 1c\int \sqrt{(ds)^2} = \int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt,\ \ где ~v — величина трехмерной скорости, причем подразумевается, что всюду ~(ds)^2 > 0, v<c

Действие для массивной бесструктурной точечной частицы массы m:

S = mc^2\Delta \tau =mc\int \sqrt{(ds)^2} = mc^2\int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt

Инвариантная масса m:

m^2 c^2 =\eta_{ab} p^a p^b= \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2

Электромагнитные инварианты (из теории Максвелла):

F_{ab} F^{ab} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)
G_{cd}F^{cd}=\epsilon_{abcd}F^{ab} F^{cd} = \frac{2}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)

Волновой оператор (оператор Даламбера):

\Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu  = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}

(при данном выборе сигнатуры метрики Минковского η приведенный вид оператора совпадает с традиционным определением оператора Даламбера с точностью до знака).

4-векторы[править | править вики-текст]

x^a = [ct, x, y, z]\
\partial_a = \left[ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right]
U^a = \frac{dx^a}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \left[c, v_x, v_y, v_z\right],
где v_x = \frac{dx}{dt}, v_y = \frac{dy}{dt}, v_z = \frac{dz}{dt}, v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
p^a = m_0 U^a = \left[\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z\right]
j
^a = [c\rho, j_x, j_y, j_z]\

Тензоры[править | править вики-текст]

\delta^a_b = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases}
\eta_{ab} = \eta^{ab} = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b = 0, \\ -1 & \mbox{if }a = b = 1, 2, 3, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases}
\epsilon_{abcd} = -\epsilon^{abcd} = \begin{cases} +1 & \mbox{if } \{abcd\} \mbox{ is an even permutation of  } \{0123\}, \\ -1 & \mbox{if } \{abcd\} \mbox{ is an odd permutation of  } \{0123\}, \\ 0 & \mbox{otherwise.} \end{cases}
F_{ab} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}
G_{cd} = \frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} = \begin{bmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\ -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\ -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \end{bmatrix}


См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]