Лямбда-матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени \ l, и нет элементов матрицы степени большей чем \ l, то \ l — степень λ-матрицы.

A\left(\lambda\right)=
\begin{bmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & \cdots & a_{2n}(\lambda) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(\lambda) & a_{n2}(\lambda) & \cdots & a_{nn}(\lambda) \end{bmatrix}, a_{ij}(\lambda)=a_{ij}^{(l)}\lambda^l+a_{ij}^{(l-1)}\lambda^{l-1}+\cdots+a_{ij}^{(1)}\lambda+a_{ij}^{(0)}.

Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:

A\left(\lambda\right)=A_l\lambda^l+A_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0.

В случае если определитель матрицы \ A_l отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.

Пример:

A\left(\lambda\right)=
\begin{bmatrix} \lambda^4+\lambda^2+\lambda-1 & \lambda^3+\lambda^2+\lambda+2 \\ 2\lambda^3-\lambda & 2\lambda^2+2\lambda \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\lambda^4+
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\lambda^3+
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\lambda^2+
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\lambda+
\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.

Отметим, что матрица нерегулярна.

Алгебра λ-матриц[править | править вики-текст]

Сложение и умножение λ-матриц[править | править вики-текст]

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.

Пусть A\left(\lambda\right) и B\left(\lambda\right) — λ-матрицы порядков \ l и \ m соответственно, и \ k=max(l,m), тогда

A\left(\lambda\right)=A_k\lambda^k+A_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0;
B\left(\lambda\right)=B_k\lambda^k+B_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+B_1\lambda+B_0,

где хотя-бы одна из матриц \ A_k, B_k — ненулевая, имеем

A\left(\lambda\right)+B\left(\lambda\right)=(A_k+B_k)\lambda^k+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda^{k-1}+\cdots+(A_1+B_1)\lambda+(A_0+B_0);
A\left(\lambda\right)B\left(\lambda\right)=A_kB_k\lambda^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda^{2k-1}+\cdots+(A_1B_0+A_0B_1)\lambda+(A_0B_0);

Деление λ-матриц[править | править вики-текст]

Предположим, что \ B(\lambda) — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы \ Q(\lambda), R(\lambda) с \ R(\lambda)\equiv 0 или со степенью \ R(\lambda), меньшей степени \ B(\lambda), что

\ A(\lambda)=Q(\lambda)B(\lambda)+R(\lambda).

В этом случае \ Q(\lambda) называется правым частным \ A(\lambda) при делении на \ B(\lambda), а \ R(\lambda)правым остатком. Подобно этому \hat Q(\lambda) и \hat R(\lambda)левое частное и левый остаток при делении \ A(\lambda) на \ B(\lambda), если

A(\lambda)=B(\lambda)\hat Q(\lambda)+\hat R(\lambda)

и \hat R(\lambda)\equiv 0 или степень \hat R(\lambda) меньше степени \ B(\lambda).

Если правый (левый) остаток равен 0, то \ Q(\lambda)   (\hat Q(\lambda)) называется правым (левым) делителем \ A(\lambda) при делении на \ B(\lambda).

Logo arte.jpg Если \ B(\lambda) — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении \ A(\lambda) на \ B(\lambda) существуют и единственны.

λ-матрицы с матричными аргументами[править | править вики-текст]

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

a_l\lambda^l+a_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=\lambda^la_l+\lambda^{l-1}a_{l-1}+\cdots+\lambda a_1+a_0,

поэтому мы определяем правое значение \ A(B) λ-матрицы \ A(\lambda) в матрице \ B как

A\left(B\right)=A_lB^l+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots+A_1B+A_0, если A\left(\lambda\right)=A_l\lambda^l+A_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0;

и левое значение \hat A(B) как

\hat A\left(B\right)=B^lA_l+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots+B A_1+A_0,

и в общем случае A(B) \ne\hat A(B).

Теорема Безу для λ-матриц[править | править вики-текст]

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов:

Logo arte.jpg Теорема Безу для λ-матриц
Правым и левым остатком от деления λ-матрицы \ A(\lambda) на \ \lambda E-B, где \  Eединичная матрица является \ A(B) и \hat A(B) соответственно.

Следствие Для того чтобы λ-матрица \ A(\lambda) делилась без остатка на \ \lambda E-B справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы \ A(B)=0    \left(\hat A(B)=0\right).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]