Марковский момент времени

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Марковский момент временитеории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Дискретный случай[править | править исходный текст]

Пусть дана последовательность случайных величин \{Y_n\}_{n \ge 0}. Тогда случайная величина \tau называется марковским моментом (времени), если для любого n \ge 0 событие \{\tau \le n\} зависит только от случайных величин Y_0,\ldots, Y_n.

Пример[править | править исходный текст]

Пусть \{Y_n\}_{n \ge 0} — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть L \in \mathbb{R}, и

\tau = \inf \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}

— момент первого достижения процессом \{Y_n\} уровня L. Тогда \tau — марковский момент, ибо \tau \le n тогда и только тогда, когда существует i\in \mathbb{N},\; 0 \le i \le n такое, что Y_i \ge L. Таким образом событие \{\tau \le n\} зависит лишь от поведения процесса до момента времени n.

Пусть теперь

 \sigma = \sup \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}

— момент последнего достижения процессом \{Y_n\} уровня L. Тогда \sigma не является марковским моментом, ибо событие \{\sigma \le n\} предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай[править | править исходный текст]

  • Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) с фильтрацией \{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}, где  T \subset [0, \infty). Тогда случайная величина \tau принимающая значения в T \cup \{\infty\} называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если \{ \tau \le t \} \in \mathcal{F}_t,\quad \forall t \in T.
  • Если дан процесс \{X_t\}_{t \in T}, и \mathcal{F}_t = \sigma (X_s \mid s \le t) — его естественные σ-алгебры, то говорят, что \tau — марковский момент относительно процесса \{X_t\}.
  • Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть
\mathbb{P}(\tau < \infty) = 1 .

Свойства[править | править исходный текст]

Если \tau и \sigma — марковские моменты, то

  • \tau + \sigma — марковский момент;
  • \tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau, \sigma) — марковский момент;
  • \tau \vee \sigma \equiv \max(\tau, \sigma) — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример[править | править исходный текст]

Пусть \{W_t\}_{t \ge 0} — стандартный винеровский процесс. Пусть  \alpha > 0. Определим

\tau = \inf \{t \ge 0 \mid W_t \ge \alpha \}.

Тогда \tau — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

f_{\tau}(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{2 \pi t^3}}e^{-\frac{\alpha^2}{2t}},\quad t \ge 0.

В частности \tau — момент остановки. Однако,

\mathbb{E} \tau = \infty.