Мартингал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
О системе в азартных играх см. Мартингейл
Остановленное броуновское движение как пример мартингала

Мартинга́л в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (в смысле среднеквадратичного) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Мартингалы с дискретным временем[править | править вики-текст]

  • Последовательность случайных величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если
  1. \mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N};
  2. \mathsf{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.
  • Пусть дана другая последовательность случайных величин \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}. Тогда последовательность случайных величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} называется мартингалом относительно \{Y_n\}\,\! или \{Y_n\}\,\!-мартингалом, если
  1. \mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N};
  2. \mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.

Мартингалы с непрерывным временем[править | править вики-текст]

Пусть есть вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) с заданной на нём фильтрацией \{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}, где T \subset \mathbb{R}. Тогда случайный процесс \{X_t\}_{t \in T} называется мартингалом относительно \{\mathcal{F}_t\}, если

  1. X_t\, измерима относительно \mathcal{F}_t для любого t \in T.
  2. \mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad  t \in T.
  3. \mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t.

Если в качестве \{\mathcal{F}_t\} взята естественная фильтрация \mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}, то \{X_t\}\,\! называют просто мартингалом.

Суб- и супермартингалы[править | править вики-текст]

  • Пусть дана последовательность случайных величин \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}. Тогда последовательность случайных величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} называется су́б(су́пер)мартингалом относительно \{Y_n\}\,\!, если
  1. \mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N};
  2. \mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] \ge(\le) X_n, \quad n \in \mathbb{N}.
  • Случайный процесс \{X_t\}_{t \in T},\; T \subset \mathbb{R} называется суб(супер)мартингалом относительно \{\mathcal{F}_t\}, если
  1. X_t\,\! измерима относительно \mathcal{F}_t для любого t \in T.
  2. \mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad  t \in T.
  3. \mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge(\le) X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t.

Если в качестве \{\mathcal{F}_t\} взята естественная фильтрация \mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}, то \{X_t\}\,\! называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
  • Если \{X_t\}\,\! — мартингал, то \mathsf{E}X_t = \mathrm{const}.
  • Если \{X_t\}\,\! — субмартингал, то \{-X_t\}\,\! — супермартингал.
  • Если \{X_t\}\,\! является мартингалом, а f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} — выпуклая функция, то \{f(X_t)\}\,\! — субмартингал. Если f\,\! — вогнутая функция, то \{f(X_t)\}\,\! — супермартингал.
  • Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом. Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
    • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
    • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
    • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.