Мартингал

О системе в азартных играх см. Мартингейл

Остановленное броуновское движение как пример мартингала

Мартинга́л в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (в смысле среднеквадратичного) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Мартингалы с дискретным временем

• Последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если

1. $\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}$;
2. $\mathsf{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}$.

• Пусть дана другая последовательность случайных величин $\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Тогда последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ называется мартингалом относительно $\{Y_n\}\,\!$ или $\{Y_n\}\,\!$-мартингалом, если

1. $\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}$;
2. $\mathsf{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}$.

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ с заданной на нём фильтрацией $\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}$, где $T \subset \mathbb{R}$. Тогда случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$ называется мартингалом относительно $\{\mathcal{F}_t\}$, если

1. $X_t\,$ измерима относительно $\mathcal{F}_t$ для любого $t \in T$.
2. $\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T$.
3. $\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t$.

Если в качестве $\{\mathcal{F}_t\}$ взята естественная фильтрация $\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}$, то $\{X_t\}\,\!$ называют просто мартингалом.

Суб- и супермартингалы

• Пусть дана последовательность случайных величин $\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Тогда последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ называется су́б(су́пер)мартингалом относительно $\{Y_n\}\,\!$, если

1. $\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N};$
2. $\mathsf{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] \ge(\le) X_n, \quad n \in \mathbb{N}.$

• Случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T},\; T \subset \mathbb{R}$ называется суб(супер)мартингалом относительно $\{\mathcal{F}_t\}$, если

1. $X_t\,\!$ измерима относительно $\mathcal{F}_t$ для любого $t \in T$.
2. $\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T$.
3. $\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge(\le) X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t$.

Если в качестве $\{\mathcal{F}_t\}$ взята естественная фильтрация $\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}$, то $\{X_t\}\,\!$ называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

• Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
• Если $\{X_t\}\,\!$ — мартингал, то $\mathsf{E}X_t = \mathrm{const}$.
• Если $\{X_t\}\,\!$ — субмартингал, то $\{-X_t\}\,\!$ — супермартингал.
• Если $\{X_t\}\,\!$ является мартингалом, а $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — выпуклая функция, то $\{f(X_t)\}\,\!$ — субмартингал. Если $f\,\!$ — вогнутая функция, то $\{f(X_t)\}\,\!$ — супермартингал.
• Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом. Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.

Примеры

• Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
  • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.

• Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения) является мартингалом.