Математика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Матема́тика — это наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач.

Обычно идеализированные свойства исследуемых объектов и процессов формулируются в виде аксиом, затем по строгим правилам логического вывода из них выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Т.о. первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное к математике положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).

[править] Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα (máthēma), что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. μαθηματικός (mathēmatikós), означающего любовь к познанию, любовь к науке. В частности, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), на латыни ars mathematica, означает искусство математики.

[править] Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт^[1]:

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ^[2], данное А. Н. Колмогоровым:

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение Энгельса;^[3] правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Формулировка Бурбаки^[4]:

Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Современная теоретическая («чистая») математика — это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов.^[5]

Математика — наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований.^[6]

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.^[7]

[править] Краткая история

Основная статья: История математики

Кипу, использовались инками для записи чисел

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Цифры майя

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, годы. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

[править] Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного математика — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство $\R^n$ , при $n > 3$ является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».^[8]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Наряду с классическим подходом в современной математике успешно существуют и неклассические, в частности, конструктивная математика.

[править] Конструктивная математика

Конструктивная математика может быть определена как неклассическое направление в математике, основанное на критерии конструктивности, в то время как классическая математика основана на критерии непротиворечивости. Согласно критерию непротиворечивости объект признаётся существующим, если он не содержит формально-логического противоречия. Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным».^[9] Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.^[10]

[править] Основные темы

[править] Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

$1,\;2,\;\ldots$	$0,\;1,\;-1,\;\ldots$
Натуральные числа	Целые числа
$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$	$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$
Рациональные числа	Вещественные числа
$-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$	$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$
Комплексные числа	Кватернионы

Числа — Натуральные числа — Целые числа — Рациональные числа — Вещественные числа — Комплексные числа — Гиперкомплексные числа — Кватернионы — Октонионы — Седенионы — Гипервещественные числа — Сюрреальные числа — p-адические числа — Математические постоянные — Названия чисел — Бесконечность — Базы

Числа

[править] Преобразования

$36 \div 9 = 4$			$\int 1_S\,d\mu=\mu(S)$
Арифметика	Дифференциальное и интегральное исчисление	Векторный анализ	Анализ
$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Дифференциальные уравнения	Динамические системы	Теория хаоса

Арифметика — Векторный анализ — Анализ — Теория меры — Дифференциальные уравнения — Динамические системы — Теория хаоса — Перечень функций

[править] Структуры

Теория множеств — Абстрактная алгебра — Теория групп — Алгебраические структуры — Алгебраическая геометрия — Теория чисел — Топология — Линейная алгебра — Универсальная алгебра — Теория категорий — Теория последовательностей

[править] Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.


Геометрия	Тригонометрия	Дифференциальная геометрия

Топология	Фракталы

Геометрия — Тригонометрия — Алгебраическая геометрия — Топология — Дифференциальная геометрия — Дифференциальная топология — Алгебраическая топология — Линейная алгебра — Фракталы

[править] Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

$\forall x (P(x) \Rightarrow P(x'))$
Математическая логика	Теория вычислимости	Криптография	Теория графов

Комбинаторика — Теория множеств — Теория решёток — Математическая логика — Теория вычислимости— Криптография — Дискретные функциональные системы — Теория графов — Теория алгоритмов — Логические исчисления — Информатика

[править] Коды в системах классификации знаний

УДК 51
Государственный рубрикатор научно-технической информации (ГРНТИ) (по состоянию на 2001 год): 27^[11]

[править] Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные.^[12] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.

[править] Примечания

↑ Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.
↑ См.: Математика
↑ Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.
↑ Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 258.
↑ Казиев В. М. Введение в математику
↑ Мухин О. И. Моделирование систем Учебное пособие. Пермь: РЦИ ПГТУ.
↑ Герман Вейль // Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 16.
↑ Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
↑ Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
↑ Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.
↑ http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
↑ Например: http://mathworld.wolfram.com

[править] См. также

[править] Ссылки

Образовательные сайты

Дискуссионные математические форумы

Судьба математической науки

В. И. Арнольд: Путешествие в хаосе, Пятое правило арифметики

[править] Литература

Энциклопедии

Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.
Энциклопедия математических наук и их приложений(нем.) 1899—1934 гг. (крупнейший обзор литературы XIX века)

Книги

Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984.
Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.

Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ. М.: Наука, 1987. 432 с.
Том II. Геометрия. М.: Наука, 1987. 416 с.

Курант Р., Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.
Пуанкаре А. Наука и метод(рус.)(фр.)

Занимательная математика

Бобров С. П. Волшебный двурог М.: Детская литература, 1967. 496 с.
Гарднер М. Путешествие во времени
Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки; 200 знаменитых головоломок мира; Пятьсот двадцать головоломок
Кэррол Л. История с узелками; Логическая игра
Таунсенд Чарлз Барри. Звёздные головоломки; Самые весёлые головоломки; Самые трудные головоломки из старинных журналов

Разделы математики

[0] Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.

[1] См.: Математика

[2] Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.

[3] Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 258.

[4] Казиев В. М. Введение в математику

[5] Мухин О. И. Моделирование систем Учебное пособие. Пермь: РЦИ ПГТУ.

[6] Герман Вейль // Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 16.

[7] Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.

[8] Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.

[9] Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.

[10] ttp://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm

[11] Например: http://mathworld.wolfram.com

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

	Портал «Математика»
	Математика в Викисловаре^?
	Математика в Викицитатнике^?
	Математика в Викитеке^?