Математическая формула

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Математическая формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид) — в математике, а также физике и прикладных науках, является, наряду с термами, разновидностью математического выражения; имеет вид комбинации знаков, имеющей самостоятельный смысл и представляющей собой символическую запись высказывания (которое выражает логическое суждение[1]), либо формы высказывания[2].

В более широком смысле формула — всякая чисто символьная запись (см. ниже), противопоставляемая в математике различным выразительным способам, имеющим геометрическую коннотацию: чертежам, графикам, диаграммам, графам и т. п.

RR5115-0023R.gif

Основные виды (численных) формул[править | править вики-текст]

Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение. Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может — о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:

  • Формула должна сообщить, как искать значения переменной (уравнения и т. п.);
  • Формула (записываемая как «искомое = выражение») определяет величину через свои параметры (аналогично присваиванию в программировании и иногда записывается через диграф «:=» как в языке Pascal, но в принципе может считаться вырожденным частным случаем уравнения);
  • Формула является собственно логическим утверждением: тождеством (например, аксиомой), утверждением теоремы и т. п.

Уравнения[править | править вики-текст]

Уравнение — формула, внешняя (верхняя) связка которого представляет собой бинарное отношение равенства. Однако важная особенность уравнения заключается также в том, что входящие в него символы делятся на переменные и параметры (присутствие последних, впрочем, необязательно). Например, x^2 = 1 является уравнением, где x — переменная. Значения переменной, при которых равенство истинно, называются корнями уравнения: в данном случае таковыми являются два числа 1 и −1. Как правило, если уравнение на одну переменную не является тождеством (см. ниже), то корни уравнения представляют собой дискретное, чаще всего конечное (возможно и пустое) множество.

Если в уравнение входят параметры, то его смысл — для заданных параметров найти корни (то есть значения переменной, при котором равенство верно). Иногда это можно сформулировать как нахождение неявной зависимости переменной от параметра (параметров). Например x^2 = a понимается как уравнение на x (это обычная буква для обозначения переменной, наряду с y, z и t). Корнями уравнения является квадратный корень из a (считается, что их имеется два, разных знаков). Следует отметить, что подобная формула, сама по себе, задаёт лишь бинарное отношение между x и a и её можно понимать в обратную сторону, как уравнение на a относительно x. В данном элементарном случае, речь может идти скорее об определении a через x: a = x^2.

Тождества[править | править вики-текст]

Тождество — суждение, верное при любых значениях переменных. Обычно, под тождеством подразумевают тождественно верное равенство, хотя снаружи тождества может стоять и неравенство или какое-либо другое отношение. Во многих случаях тождество можно понимать как некое свойство используемых в нём операций, например тождество a+b = b+a\, утверждает коммутативность сложения.

С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Например: «для любых a и b имеет место равенство (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \,». Данное тождество можно вывести из аксиом сложения и умножения в коммутативном кольце, которые сами по себе также имеют вид тождеств.

Тождество может и не включать в себя переменные и являться арифметическим (или каким-то ещё) равенством, как например 6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3\,.

Приближённые равенства[править | править вики-текст]

Например: x \approx \sin(x) \, — приближённое равенство при малых x \,;

Неравенства[править | править вики-текст]

Формула-неравенство может пониматься в обоих описанных в начале раздела смыслах: как тождество (например, неравенство Коши — Буняковского) или же, подобно уравнению, как задача на отыскание множества (а точнее, подмножества области определения), которому может принадлежать переменная, или переменные.

Используемые операции[править | править вики-текст]

В данном разделе будут перечислены операции, используемые в алгебре, а также некоторые общеупотребительные функции из математического анализа.

Сложение и вычитание[править | править вики-текст]

Используются знаки «+» и «» (последний на письме довольно слабо отличим от дефиса). Унарный минус чаще используется лишь при первом (левом) слагаемом, поскольку другие случаи, типа «a + (−b)» и «a − (−b)», ничем не отличаются по смыслу от более простых «a − b» и «a + b» соответственно.

По причине ассоциативности сложения, расстановка скобок для задания порядка выполнения сложения не имеет математического смысла. В алгебре слагаемыми называют аргументы как сложения, так и вычитания. Порядок выполнения вычитания, при отсутствии скобок, таков, что вычитаемым оказывается лишь член, выписанный непосредственно справа от знака вычитания, а не результат выполнения операций каких-либо сложения и вычитания, записанных правее. Таким образом со знаком минус входят в сумму лишь те «слагаемые», непосредственно слева от которых знак «−» имеется.

Умножение[править | править вики-текст]

Знак умножения чаще всего опускается. Это не вызывает двусмысленности, поскольку переменные обозначаются обычно одиночными буквами, а выписывать умножение записанных цифрами констант друг на друга бессмысленно. В редких случаях, когда двусмысленности не избежать, умножение обозначается центрированным по вертикали символом точки «·». Символ «×» применяется лишь в школьной арифметике, в технических текстах (в особом контексте), а также некоторые системы вставляют его на месте знака умножения при переносе формулы на другую строку (обычно, перенос по знаку умножения избегается).

Деление[править | править вики-текст]

Деление в формулах записывается при помощи дробной черты. В школьной арифметике применяется также «÷» (обелюс).

Возведение в степень[править | править вики-текст]

Элементарные функции[править | править вики-текст]

Абсолютная величина, знак и т. п.[править | править вики-текст]

Приоритет операций и скобки[править | править вики-текст]

Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора — формальное свойство оператора/операции, влияющее на очередность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют бо́льшим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.

Примеры[править | править вики-текст]

Например:

2 + 2 = 7 — пример формулы, имеющей значение «ложь».

 y = \ln(x)+\sin(x) \, — функция одного действительного аргумента или однозначная функция ;

z=\frac{y^3}{y^2+x^2} — функция нескольких аргументов или многозначная функция (график одной из самых замечательных кривых — верзьера Аньези) ;

y = 1 - | 1 - x | \, — не дифференцируемая функция в точке  x = 1 \, (непрерывная ломаная линия не имеет касательной) ;

x^3 + y^3 = 3axy\, — уравнение, то есть неявная функция (график кривой «декартов лист»);

 t_n=n!\, — целочисленная функция ;

 y =y^3 \sin(nx)\, — чётная функция ;

 y = \operatorname{tg}(x)\, — нечётная функция ;

 f(P) = \sqrt {x^2+y^2+z^2} — функция точки, расстояние от точки до начала (декартовых) координат;

 y = \frac{1}{x - 3}\,  — разрывная функция в точке x = 3\, ;

 x=a[t-\sin(t)]\, ;\ y=a[1-\cos(t)] — параметрически заданная функция (график циклоиды) ;

y=\ln(x),\ x=e^y\, — прямая и обратная функции ;

f(x) = \int\limits_{-\infty}^x |f(t)|\,dt\, — интегральное уравнение ;

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]