Математические основы квантовой механики

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Математические основы квантовой механики - принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений. Были созданы Луи Де-Бройлем[1] (открытие волн материи), В. Гейзенбергом[2] (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером[3] (уравнение Шрёдингера), Н. Бором[4] (формулировка принципа дополнительности).

Наблюдаемые величины и векторы состояний[править | править вики-текст]

В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния. Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний).[5] Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).[5] Физическая величина A может принимать только собственные значения оператора \widehat{A}.[5] Математическое ожидание \overline{A} значений величины A в состоянии \psi вычисляется как \overline{A} = (\psi, \widehat{A}\psi). Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении - диагональный матричный элемент).[5] Векторы состояний ~\psi_1 и ~\psi_2 описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда ~\psi_2=c\psi_1 , где ~c — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.[6] Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины A в состоянии \psi задаются мерой[7]:

dm_{\widehat{A}, \psi}(a) = d(E_{a}\psi, \psi),

где \widehat{A} - самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине a, \psi - вектор состояния, E_{a} - спектральная функция оператора \widehat{A}, круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию

\psi \rightarrow U \psi, A \rightarrow UAU^{-1}

В этом случае любая имеющая смысл физическая величина (A\psi, \psi) не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

Полный набор совместно наблюдаемых величин[править | править вики-текст]

Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов A_{i}, i=1,...k образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности (\left [ A_i, A_j \right ] = 0 для всех i, j = 1, ...k, взаимной независимости (ни один из операторов A_{i} не может быть представлен в виде функции от остальных, полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми A_{i} и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций \psi(a_1,...a_k) со скалярным произведением:

(\psi_1, \psi_2)=\int \psi_1(a_1,...a_k)\overline{\psi_2(a_1,...a_k)}d \mu(a_1,...a_k)

Операторы A_{i} являются операторами умножения на соотвествующие переменные:

A_i \psi (a_1,...a_k) = a_i  \psi (a_1,...a_k)

Совместное распределение значений наблюдаемых:

P(a_1,...a_k) = \left | \psi (a_1,...a_k) \right |^2 d \mu(a_1,...a_k)

Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы[править | править вики-текст]

В случае частицы в трёхмерном пространстве x = (x_1, x_2, x_3) наблюдаемыми величинами являются координаты Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} и импульсы P_{1}, P_{2}, P_{3}.

В представлении Шредингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции \psi(x) со скалярным произведением:

(\psi_1, \psi_2) = \int \psi_1(x) \overline{\psi_2(x)} dx

Операторы координат представляют собой операторы умножения:

\widehat{x_{j}}\psi(x) = x_{j}\psi(x), j=1, 2, 3

Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:

\widehat{p_{j}}\psi(x) = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{j}} \psi(x), j=1, 2, 3

Соотношения коммутации[править | править вики-текст]

Операторы декартовых координат \widehat{x_i} и операторы импульсов \widehat{p_i} удовлетворяют соотношениям коммутации:

\left [ \widehat{p_i}, \widehat{x_k} \right ] = -i\hbar \delta_{ik}
\left [ \widehat{p_i}, \widehat{p_k} \right ] = 0
\left [ \widehat{x_i}, \widehat{x_k} \right ] = 0

Здесь \hbar - постоянная Планка.[5]

Уравнения Гамильтона[править | править вики-текст]

Матричные элементы операторов декартовых координат \widehat{x_i} и операторов импульсов \widehat{p_i} удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:

\frac{d}{dt}(f, \widehat{p_i}g) = - (f, \frac{\partial \widehat{H}}{\partial \widehat{x_i}}g)
\frac{d}{dt}(f, \widehat{x_i}g) = (f, \frac{\partial \widehat{H}}{\partial \widehat{p_i}}g)

Здесь \widehat{H} - оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.[5]

Уравнение Шрёдингера[править | править вики-текст]

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шредингера

~i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= \hat{H}\psi ,
где ~\hat{H} — гамильтониан:
~{\hat{H}}=-{\frac{{\hbar}^2}{2m}}{ \left( {\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}x}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}y}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}z}^2}} \right) }+{\hat E_{\rm{pot}}} .
Стационарные, т. е. не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шредингера:
~{{\hat{H}}{\psi}}={E{\psi}}  .

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно[8]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. L. de Brogile, Ann. d. phys. (10), 3, 22, 1925
  2. W. Heisenberg, Z. S. f. Phys. 33, 879, 1925
  3. E. Schrodinger, Ann. d. phys. (4), 79, 361, 489, 734 1926
  4. N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
  5. 1 2 3 4 5 6 Елютин, 1976, с. 25
  6. Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
  7. C. Г. Крейн Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.
  8. Хотя это и не обязательно.

Литература[править | править вики-текст]