Матрица Адамара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Матрица Адамара H\! — это квадратная матрица размера n×n, составленная из чисел 1 и −1, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение

H \cdot H^T = n \cdot E_n,

где E_n — это единичная матрица размера n. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Недоказанная гипотеза Адамара утверждает, что матрица Адамара порядка 4k существует для каждого натурального k.

Свойства[править | править вики-текст]

На множестве матриц Адамара размера n\times n действует группа преобразований G, порожденная инверсиями строк и столбцов (умножением на −1), а также перестановками строк и столбцов.

Две матрицы Адамара H_1 и H_2 называются эквивалентными, если существует элемент g\in G, такой что H_2 = g H_1. Таким образом, все матрицы Адамара заданного размера разбиваются на классы эквивалентности.

Теорема 1. Существует алгоритм перечисления нормализованных матриц Адамара.

Теорема 2. Для порядков 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24 существует соответственно 1, 1, 1, 1, 2, 118, 6520, 43966313 (последовательность A147774 в OEIS) эквивалентных классов нормализованных матриц Адамара по отношению эквивалентности перестановок строк и столбцов.

Определение. Автотопией матрицы Адамара H называется элемент g\in G, такой что g(H) = H.

Теорема 3. Существует алгоритм вычисления группы автотопий матрицы Адамара.

Теорема 4. Существует алгоритм проверки эквивалентности двух матриц Адамара, находящий нужный элемент g\in G.

Теорема 5. Существуют полиномиально вычислимые функции на матрицах Адамара, инвариантные относительно действия группы G, и позволяющие в определенных случаях различать неэквивалентные матрицы Адамара.

Теорема 6. Существует алгоритм, перечисляющий только по одной матрице из каждого эквивалентного класса, для всех матриц заданного размера (в стадии разработки).

Использование матриц Адамара[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]