Матрица Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре, матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

 H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}.

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

H = \begin{bmatrix} 
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt]
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt]
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}.

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

 H_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx,

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для численных вычислений. Например, число обусловленности относительно  \left\| \cdot \right\|_2 - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 105.

История[править | править вики-текст]

Гилберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: "Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

\int_{a}^b P(x)^2 dx

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?" Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гилберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина ba интервала меньше  4.

Свойства[править | править вики-текст]

\det(H)={{c_n^{\;4}}\over {c_{2n}}},

где

c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i}=\prod_{i=1}^{n-1} i!.\,

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность A005249 в OEIS). Он следует из равенства

{1 \over \det (H)}={{c_{2n}}\over {c_n^{\;4}}}=n!\cdot \prod_{i=1}^{2n-1} {i \choose [i/2]}.

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

\det(H) \approx a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2}

где an сходится к константе e^{1/4} 2^{1/12} A^{ - 3} \approx 0.6450 при n\rightarrow\infty, где A — постоянная постоянная Глейшера-Кинкелина.

(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^2

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы H^{-1} — целые числа.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Hilbert, David (1894), "«Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms»", Acta Mathematica (Springer Netherlands) . — Т. 18: 155–159, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02418278 . Перепечатано в Hilbert David article 21 // Collected papers. — Vol. II.
  • Beckermann, Bernhard (2000). «The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices». Numerische Mathematik 85 (4): 553–577. DOI:10.1007/PL00005392.
  • Choi, M.-D. (1983). «Tricks or Treats with the Hilbert Matrix». American Mathematical Monthly 90 (5): 301–312. DOI:10.2307/2975779.
  • Todd, John (1954). «The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix». National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 39: 109–116.
  • Wilf H. S. Finite Sections of Some Classical Inequalities. — Heidelberg: Springer, 1970. — ISBN 3-540-04809-X