Матрица Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре, матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

 H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}.

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

H = \begin{bmatrix} 
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt]
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt]
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}.

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

 H_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx,

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно  \left\| \cdot \right\|_2 - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 105.

История[править | править вики-текст]

Гилберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: "Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

\int_{a}^b P(x)^2 dx

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?" Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гилберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина ba интервала меньше  4.

Свойства[править | править вики-текст]

\det(H)={{c_n^{\;4}}\over {c_{2n}}},

где

c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i}=\prod_{i=1}^{n-1} i!.\,

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность A005249 в OEIS). Он следует из равенства

{1 \over \det (H)}={{c_{2n}}\over {c_n^{\;4}}}=n!\cdot \prod_{i=1}^{2n-1} {i \choose [i/2]}.

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

\det(H) \approx a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2}

где an сходится к константе e^{1/4} 2^{1/12} A^{ - 3} \approx 0.6450 при n\rightarrow\infty, где A — постоянная постоянная Глейшера-Кинкелина.

(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^2

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы H^{-1} — целые числа.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Hilbert, David (1894), "«Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms»", Acta Mathematica (Springer Netherlands) . — Т. 18: 155–159, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02418278 . Перепечатано в Hilbert David article 21 // Collected papers. — Vol. II.
  • Beckermann, Bernhard (2000). «The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices». Numerische Mathematik 85 (4): 553–577. DOI:10.1007/PL00005392.
  • Choi, M.-D. (1983). «Tricks or Treats with the Hilbert Matrix». American Mathematical Monthly 90 (5): 301–312. DOI:10.2307/2975779.
  • Todd, John (1954). «The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix». National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 39: 109–116.
  • Wilf H. S. Finite Sections of Some Classical Inequalities. — Heidelberg: Springer, 1970. — ISBN 3-540-04809-X.