Матрица Коши (линейная алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, матрица Коши (названа в честь Огюстена Луи Коши) — это m×n-матрица с элементами вида:


a_{ij}={\frac{1}{x_i-y_j}};\quad x_i-y_j\neq 0,\quad 1 \le i \le m,\quad 1 \le j \le n

где x_i и y_j являются элементами поля \mathcal{F}, а последовательности (x_i) и (y_j) таких элементов являются инъективными (не содержат повторяющихся элементов).

Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши при

x_i-y_j = i+j-1. \;

Каждая подматрица (матрица, получающася вычёркиванием определённой строки и столбца) матрицы Коши также является матрицей Коши.

Определители Коши[править | править исходный текст]

Определитель квадратной матрицы Коши является заведомо рациональной функцией параметров (x_i) и (y_j). Если эти последовательности не инъективны, то определитель равен нулю. Если некоторые x_i стремятся к y_j , то определитель стремится к бесконечности. Таким образом, часть множества нулей и полюсов определителя Коши заранее известно. На самом деле других нулей и полюсов нет.

Явный вид определителя квадратной матрицы Коши A, называемый просто определитель Коши:

 \det \mathbf{A}={{\prod_{i=2}^n \prod_{j=1}^{i-1} (x_i-x_j)(y_j-y_i)}\over {\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n (x_i-y_j)}}     (Schechter 1959, eqn 4).

Он всегда не равен нулю, таким образом, матрицы Коши являются обратимыми. Обратная матрица A−1 = B = [bij] имеет вид:

b_{ij} = (x_j - y_i) A_j(y_i) B_i(x_j) \,     (Schechter 1959, Theorem 1)

где Ai(x) и Bi(x) — многочлены Лагранжа для последовательностей (x_i) и (y_j), соответственно. То есть

A_i(x) = \frac{A(x)}{A^\prime(x_i)(x-x_i)}  и \quad B_i(x) = \frac{B(x)}{B^\prime(y_i)(x-y_i)},

где

A(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) и \quad B(x) = \prod_{i=1}^n (x-y_i).

Обобщение[править | править исходный текст]

Матрица C называется матрицей типа Коши, если она имеет вид

C_{ij}=\frac{r_i s_j}{x_i-y_j}.

Обозначив X=diag(xi), Y=diag(yi), получим, что матрицы типа Коши (в частности, просто матрицы Коши) удовлетворяют смещённому уравнению:

\mathbf{XC}-\mathbf{CY}=rs^\mathrm{T}

(в случае матриц Коши r=s=(1,1,\ldots,1)). Следовательно матрицы типа Коши имеют общую смещённую структуру, что может быть использовано при работе с такими матрицами. Например, известны алгоритмы для

Через n обозначен размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все вышеприведённые алгоритмы легко могут быть обобщены на прямоугольные матрицы).

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]