Матрица плотности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Матрица плотности (оператор плотности) — один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так и смешанные состояния. Основанный на понятии оператора плотности формализм был предложен Дж. фон Нейманом и независимо Л. Д. Ландау и Ф. Блохом в 1927 году.

[править] Определение

Оператор плотности — это неотрицательный ядерный эрмитов оператор с единичным следом в гильбертовом пространстве. Равенство следа единице соответствует единичной нормировке полной вероятности на данном пространстве состояний.

В качестве стандартного обозначения для оператора плотности применяется буква $ρ$ . Оператором плотности, отвечающим чистому состоянию $|\psi\rang,$ является ортогональный проектор на соответствующую волновую функцию:

$\rho = |\psi\rang \lang \psi|$ .

Смешанное состояние, отвечающее случаю, когда система находится в каждом из взаимно ортогональных состояний $|\psi_j \rang$ с вероятностью $p j$ , описывается оператором плотности вида

$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j|$

Среднее значение наблюдаемой $A$ для состояния, заданного матрицей плотности $ρ$ , представляет собой след произведения операторов $A$ и $ρ$ :

$\lang A\rang = \operatorname{Sp} (A\rho)$ .

Несложно видеть, что обычное правило нахождения средней от наблюдаемой для чистых состояний представляет собой частный случай этой формулы.

[править] Свойства

Производная по времени от оператора плотности гамильтоновой квантовой системы выражается через коммутатор с гамильтонианом в виде уравнения

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{1}{\imath \hbar} [ \mathcal{H}, \rho ]$

Это уравнение часто называется квантовым уравнением Лиувилля и уравнением фон Неймана.

След матрицы плотности равен единице в силу нормировки полной вероятности:

$\operatorname{Sp}(\rho) = 1$

След квадрата матрицы плотности равен единице для чистых состояний и всегда меньше единицы для смешанных:

$\operatorname{Sp}(\rho^2) \leq 1$ и $\operatorname{Sp}(\rho^2) = 1 \iff \rho = |\psi\rang \lang \psi|$

[править] Применение

Использование оператора плотности становится необходимым, если состояние квантовомеханической системы по тем или иным причинам не может быть рассмотрено как чистое. Такое положение имеет место, в частности, в квантовой статистике. При этом оператор плотности оказывается естественным аналогом фигурирующей в классической статистической механике функции распределения плотности в фазовом пространстве. Кроме того, существует трактовка квантовомеханической процедуры измерения как перехода из исходного чистого состояния $|\psi\rang$ в смешанное состояние

где $| e_j\rang$ суть отвечающие выбранному полному набору измеряемых величин базисные векторы.

[править] Литература

Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения, — М.: Мир, 1983. 248 c.
Белоусов Ю. М., Манько В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике. М.: МФТИ, 2004.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. 720с. ISBN 5-03-001311-3
Местечкин М. М. Метод матрицы плотности в теории молекул. Киев: Наукова думка, 1977. – 352 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 § 14.
Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, — М.: Наука 1964.

Это незавершённая статья по физике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Матрица плотности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определение

[править] Свойства

[править] Применение

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках