Матрица сдвига

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, матрица сдвига (также сдвиговая матрица) это бинарная матрица с единицами только на наддиагонали или поддиагонали и нулями в остальных местах. Сдвиговая матрица U с единицами на наддиоганали называется верхне-сдвиговой матрицей. Соответствующая поддиагональная матрица L называется нижне-сдвиговой матрицей. (i,j)-е компоненты матриц U и L имеют вид

 U_{ij} = \delta_{i+1,j}, \quad L_{ij} = \delta_{i,j+1},

где \delta_{ij}дельта-символ Кронекера.

Например, сдвиговая 5×5-матрица


U_5=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \quad
L_5=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.

Очевидно, транспонированной нижне-сдвиговой матрицы является верхне-сдвиговая матрица, и наоборот. Умножая слева матрицу A на ниже-сдвиговую приводит к сдвигу элементов матрицы A вниз на одну позицию, верхняя строчка результирующей матрицы заполняется нулями. Умножение справа на нижне-сдвиговую приводит к сдвигу влево. Аналогичные операции с участием верхне-сдвиговой матрицы приводят к противоположным сдвигам.

Естественно, все сдвиговые матрицы нильпотентны: сдвиговая n×n-матрица S в степени, равной её размерности n, равна нулевой матрице.

Свойства[править | править исходный текст]

Пусть L и Un×n-матрицы сдвига нижняя и верхняя, соответственно. Следующие свойства верны для обеих матрицU и L (поэтому приведём их только для U):

p_U(\lambda) = (-1)^n\lambda^n.


Следующие свойства показывают как матрицы U и L связаны:

  • LT = U; UT = L
  • Ядра матриц U и L:
\operatorname{ker}(U) = \operatorname{span}\{ (1,0,\ldots, 0)^T \},
 \operatorname{ker}(L) = \operatorname{span}\{ (0,\ldots, 0, 1)^T \}.
  • Для LU и UL имеем:
UL = I - \operatorname{diag}(0,\ldots, 0,1),
LU = I - \operatorname{diag}(1,0,\ldots, 0).

Обе эти матрицы идемпотентны, симметричны, и имеют то же ранг, что U и L.

Примеры[править | править исходный текст]


S=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}; \quad A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.


Тогда: 
SA=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}; \quad AS=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}.


Очевидно, существует много различных перестановок. Например, матрица S^{T}AS соответствует сдвигу матрицы A вверх и влево вдоль главной диагонали.



S^{T}AS=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Shift Matrix — entry in the Matrix Reference Manual