Матричная квантовая механика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Матричная механика — математический формализм квантовой механики, разработанный Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и Паскуалем Иорданом в 1925 году. Матричная механика была первой независимой и последовательной квантовой теорией. Она развивает идеи теории Бора, в частности отвечает на вопрос, как происходят квантовые переходы. Основная идея матричной механики заключается в том, что физические величины, характеризующие частицу, описываются матрицами, изменяющимися во времени. Такой подход вполне эквивалентный волновой механике Эрвина Шредингера и является основой для бра-кет нотации Дирака для волновой функции.

Математический аппарат[править | править вики-текст]

В матричной механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантовомеханической системы задается вектором состояния: конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел

 \phi = \left( \begin{matrix} c_1 \\ \vdots \\ c_i \\ \vdots  \end{matrix} \right) ,

а каждой физической величине A, которую можно наблюдать в эксперименте, соответствует определенная матрица

 A = \left( \begin{matrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \ldots & a_{nn} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{matrix} \right)

Реальным физическим величинам соответствуют самосопряженные матрицы, для которых

 a_{nm} = a_{mn}^* .

Комплексные величины  c_n задают амплитуду вероятности того, что квантовомеханическая система находится в состоянии n. Диагональные элементы матрицы A соответствуют значениям физической величины, когда она находится в определенном состоянии, а недиагональные элементы описывают вероятность переходов системы из одного состояния в другое.

Особое место занимает матрица энергии H.

Уравнение движения[править | править вики-текст]

Матрица, которая описывает физическую величину, удовлетворяет уравнению движения

 \frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{i}{\hbar}[ H, A] ,

где частная производная задает явную зависимость физической величины от времени, а квадратные скобки означают коммутатор матриц A и H. В этой формуле i — мнимая единица  \hbar  —приведенная постоянная Планка. Если матрица A известна в начальный момент времени, то, решая данное уравнение, можно определить ее в любой момент времени.

Эквивалентность матричной механики и волновой механики[править | править вики-текст]

Как показал Джон фон Нейман, матричная механика полностью эквивалентна волновой механике Шредингера. Эквивалентность вытекает из того, что волновую функцию  \psi \, можно разложить в ряд, используя определенный ортонормированной базис функций  \varphi_i :

 \psi = \sum_n c_n \varphi_n .

Коэффициенты этого разложения  c_n \, задают вектор состояния.

Матрица, которая соответствует определенной физической величине A задается матричными элементами оператора  \hat{A}

 A_{nm} = \int \varphi_n^* \hat{A} \varphi_m d\tau .

Учитывая эквивалентность формулировок, в современной квантовой механике матричный подход используется на равных с описанием с помощью волновых функций.