Матроид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Матроид — классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество.

Аксиоматическое определение[править | править вики-текст]

Матроид — пара (X,I), где X — конечное множество, называемое носителем матроида, а I — некоторое множество подмножеств X, называемое семейством независимых множеств , то есть I \subset  2^X . При этом должны выполняться следующие условия:

  1. \varnothing \in I
  2. Если A \in I и  B \subset A, то B \in I
  3. Если A,B \in I и мощность A больше мощности B, то существует x \in A \setminus B такой, что B \cup \{x\} \in I

Базами матроида называются максимальные по включению независимые множества. Подмножества X не принадлежащие I называются зависимыми множествами. Минимальные по включению зависимые множества называются циклами матроида, это понятие используется в альтернативном определении матроида.

Определение в терминах циклов[править | править вики-текст]

Матроид — пара (X,C), где X — носитель матроида, а C — семейство непустых подмножеств X, называемое множеством циклов матроида, для которых выполняются следующие условия:[1]

  1. Ни один цикл не является подмножеством другого
  2. Если x \in C_1 \cap C_2, то C_1 \cup C_2 \setminus \{x\} содержит цикл

Определение в терминах правильного замыкания[править | править вики-текст]

Пусть (P, \le) — частично упорядоченное множество. H: P \to P — замыкание в (P, \le), если

  1. Для любого x из P : H(x) \ge x
  2. Для любых x, y из P : x \le y \Rightarrow H(x) \le H(y)
  3. Для любого x из P : H\left(H\left(x\right)\right) = H(x)

Рассмотрим (P, \le) = (2^S, \le) случай, когда частично упорядоченное множество — булева алгебра. Пусть A \to H(A) — замыкание A \subset S.

  1. Замыкание правильно (аксиома правильного замыкания), если (p \not \in A, p \in H(A \cup \left\{ q \right\}) ) \Rightarrow q \in H(A \cup \left\{ p \right\})
  2. для любого A \subset S существует такое B \subset A, что
    1.  |B|<+\infty
    2.  H\left(B\right)=H\left(A\right)

Пара (S, A\to H(A)), где A \to H(A) — правильное замыкание на (2^S,\le), называется матроидом.

Примеры[править | править вики-текст]

  1. Универсальный матроид Un k. Множество X имеет мощность n, независимыми множествами являются подмножества мощностью не больше k. Базы — подмножества мощностью k.
  2. Матроид циклов графа. Множество X — множество ребер графа, независимые множества — ациклические подмножества этих ребер, циклы — простые циклы графа. Базами являются остовные леса графа. Матроид называется графическим, если он является матроидом циклов некоторого графа.[2]
  3. Матроид подмножеств множества ребер графа, таких что удаление подмножества оставляет граф связным.
  4. Матроид коциклов графа. Множество X — множество ребер, коциклы — минимальные множества, удаление которых приводит к потере связности графа. Матроид называется кографическим, если он является матроидом коциклов некоторого графа.[2]
  5. Матричный матроид. Семейство всех линейно независимых подмножеств любого конечного множества векторов произвольного непустого векторного пространства является матроидом.

Определим множество E, как множество состоящее из {1, 2, 3, .., n} — номеров столбцов некоторой матрицы, а множество I, как множество состоящее из подмножеств E, таких, что векторы, определяемые ими, являются линейно независимыми над полем вещественных чисел R. Зададимся вопросом — какими свойствами обладает построенное множество I?

  1. Множество I непусто. Даже если исходное множество E было пусто — E = ∅, то I будет состоять из одного элемента — множества, содержащего пустое. I = { {∅} }.
  2. Любое подмножество любого элемента множества I также будет элементом этого множества. Это свойство понятно — если некоторый набор векторов линейно независим над полем, то линейно независимым будет также любой его поднабор.
  3. Если A, B ∈ I, причем |A| = |B| + 1, тогда существует элемент x ∈ A − B , такой что B ∪ {x} ∈ I.

Докажем, что в рассмотренном примере множество линейно независимых столбцов действительно является матроидом. Для этого достаточно доказать третье свойство из определения матроида. Проведем доказательство методом от противного.

Доказательство. Пусть A, B ∈ I и |A| = |B| + 1. Пусть W будет пространством векторов, охватываемым A ∪ B . Понятно, что его размерность будет не менее |A|. Предположим, что B ∪ {x} будет линейно зависимо для всех x ∈ A − B (то есть третье свойство не будет выполняться). Тогда B образует базис в пространстве W. Из этого следует, что |A| ≤ dim W ≤ |B|. Но так как по условию A и B состоят из линейно независимых векторов и |A| > |B|, получаем противоречие. Такое множество векторов будет являться матроидом.

Дополнительные понятия[править | править вики-текст]

  • Двойственным данному матроиду называется матроид, носитель которого совпадает с носителем данного матроида, а базы — дополнения баз данного матроида до носителя. То есть X*=X, а множество баз двойственного матроида — это множество таких B*, что B*=X\B, где B — база данного матроида.
  • Циклом в матроиде называется такое множество A⊂X, что A∉I, и для любого B⊂A, если B≠A, то B∈I
  • Рангом матроида называется мощность его баз. Ранг тривиального матроида равен нулю.

Матроид Фано[править | править вики-текст]

Матроид Фано

Матроиды с маленьким числом элементов часто изображают в виде диаграмм. Точки — это элементы основного множества, а кривые «протянуты» через каждую трёхэлементную цепь (3-element circuit). Диаграмма показывает 3-ранговый матроид, называемый матроидом Фано, пример, который появился в 1935 в статье Уитни (Whitney).

Название возникло из того факта, что матроид Фано представляет собой проективную плоскость второго порядка, известная как плоскость Фано, чьё координатное поле — это двух-элементное поле. Это означает, что матроид Фано — это векторный матроид, связанный с семью ненулевыми векторами в трехмерном векторном пространстве над полем двух элементов.

Из проективной геометрии известно, что матроид Фано непредставим произвольным множеством векторов в вещественном или комплексном векторном пространстве (или в любом векторном пространстве над полем, чьи характеристики отличаются от 2).

Теоремы[править | править вики-текст]

  • Все базы матроида имеют одинаковую мощность.
  • Матроид однозначно задается носителем и базами.
  • Цикл не может быть подмножеством другого цикла
  • Если C_1 и C_2 — циклы, то для любого x \in C_1 \cap C_2 : C_1 \cup C_2 \setminus \{x\} содержит цикл
  • Если B — база и x \notin B, то B \cup \{x\} содержит ровно один цикл.

Применение[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Асанов М.О. и др. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. — Ижевск: ННЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 288.
  • Ф. Харари Теория графов. — Москва: УРСС, 2003. — С. 300. ISBN 5-354-00301-6
  • Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. — 3-е. — СПб.: Питер, 2008. — С. 101—105. — 384 с. — ISBN 978-5-91180-759-7

Ссылки и примечания[править | править вики-текст]

http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/unsorted/matroids-2004/

  1. Ф. Харари Теория графов стр. 57
  2. 1 2 Ф. Харари Теория графов стр. 186