Медиана треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • В прямоугольном треугольнике медиана равняется половине гипотенузы.
  • Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
  • Формула медианы через стороны (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
    m_c =\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника,
  • В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон: m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac34 (a^2 + b^2 + c^2).
  • Формула стороны через медианы:
a=\frac{2}{3}\sqrt {2 (m_b^2 + m_c^2) - m_a^2},
где m_a, m_b, m_c медианы к соответствующим сторонам треугольника, a, b, c — стороны треугольника.

Мнемоническое правило[править | править исходный текст]

Медиана — обезьяна,
у которой зоркий глаз,
прыгнет точно в середину
стороны против вершины,
где находится сейчас.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]