Мера Жордана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного объёма в n-мерном евклидовом пространстве.

Построение[править | править исходный текст]

Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.

Мера Жордана ~m\Delta параллелепипеда \Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i] в \R^n определяется как произведение

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

Для ограниченного множества E\subset\R^n определяются:

здесь \Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество ~E называется измеримым по Жордану (квадрируемым при ~n=2, кубируемым при n\geqslant 3), если ~m_eE=m_iE. В этом случае мера Жордана равна ~mE=m_eE=m_iE.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
  • Ограниченное множество E\subset\R^n измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
    • В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее, существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.
  • Внешняя мера Жордана одна и та же для ~E и \bar E (замыкания множества ~E) и равна мере Бореля \bar E.
  • Измеримые по Жордану множества образуют кольцо, на котором мера Жордана конечная аддитивная функция.

История[править | править исходный текст]

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Пример множества, неизмеримого по Жордану[править | править исходный текст]

Рассмотрим меру Жордана m, определённую на \R^2 и пусть A=\{(x,\;y)\in\R^2\colon 0\leqslant x\leqslant 1,\;0\leqslant y\leqslant 1\} — множество точек единичного квадрата. Пусть X=A\cap\Q^2 — множество, состоящее из всех точек множества A с рациональными координатами, тогда X — неизмеримое по Жордану множество, так как m_e X=1,\;m_i X=0,\;m_e X\neq m_i X, то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают.

Литература[править | править исходный текст]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

См. также[править | править исходный текст]