Мероморфная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гамма-функция мероморфна на всей комплексной плоскости (цветом обозначена фаза)

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области \Omega\subset \mathbb C (или на римановой поверхности \Omega) — голоморфная функция f в области \Omega\backslash\{a_1,\;a_2,\;\ldots\}, которая в каждой особой точке a_i имеет полюс (таким образом a_i — изолированная точка множества \{a_1,\;a_2,\;\ldots\}, не имеющего предельных точек в \Omega, и \lim_{z\to a_i}|f(z)|= \infty).

Или проще: Функция комплексной переменной называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.

Совокупность M(\Omega) всех мероморфных функций на области \Omega является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Отношение \varphi/\psi любых голоморфных в \Omega функций, \varphi и \psi, является мероморфной функцией в \Omega.
  • Обратно, всякая мероморфная функция в области \Omega\subset\mathbb C (и на некомпактной римановой поверхности \Omega) представляется в виде \varphi/\psi, где \varphi и \psi голоморфны и не имеют общих нулей в \Omega.

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле M(\Omega) совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в \Omega.

  • Всякая мероморфная функция f\in M(\Omega) определяет непрерывное отображение f области \Omega в сферу Римана \mathbb C\cup\{\infty\}, которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры \mathbb C\cup\{\infty\}=\mathbb CP^1.
  • Обратно, всякое голоморфное отображение f:\Omega\to\mathbb C\cup\{\infty\}, определяет мероморфную функцию f на \Omega. При этом множество полюсов f совпадает с дискретным множеством f^{-1}(\infty).

Таким образом, мероморфная функция одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.