Мероморфная функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Мероморфная функция одного комплексного переменного в области 
(или на римановой поверхности Ω) — голоморфная функция f в области 
, которая в каждой особой точке ai имеет полюс (таким образом ai — изолированная точка множества 
, не имеющего предельных точек в Ω, и 
).
Или проще: Функция комплексной переменной называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Совокупность M(Ω) всех мероморфных функций на области Ω является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.
[править] Свойства
- Отношение
любых голоморфных в Ω функций, 
и ψ, является мероморфной функцией в Ω. - Обратно, всякая мероморфная функция в области (и на некомпактной римановой поверхности Ω) представляется в виде , где и ψ голоморфны и не имеют общих нулей в Ω.
Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле M(Ω) совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в Ω.
- Всякая мероморфная функция
определяет непрерывное отображение f области Ω в сферу Римана 
, которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры 
. - Обратно, всякое голоморфное отображение
, определяет мероморфную функцию f на Ω. При этом множество полюсов f совпадает с дискретным множеством 
.
Таким образом, мероморфная функция одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.
- На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
- На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.
[править] Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
