Метаматематика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метаматематика — раздел математической логики, изучаю­щий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики».

В широком смысле слова метаматематика — метатеория математики, не предполагающая никаких специальных ограничений на характер используемых метатеоретических методов, на способ задания и объём исследуемой в ней «математики».

Основные сведения[править | править вики-текст]

Метаматематика рассматривает формализованную теорию как множество не­которых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и тер­мы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой пред­ложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам де­дукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствую­щие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве ак­сиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответ­ствуют теоремам содержательной теории. Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования.

Развитие метаматематики[править | править вики-текст]

В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лиде­ром этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с по­мощью простых методов метаматематике удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако тео­ремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществи­ма. Использование финитных методов для исследования форма­лизованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера. Но на практике ограничение методов дока­зательства элементарными методами значительно усложняет ма­тематические исследования. Поэтому для более глубокого проник­новения в сущность формализованных теорий современная метаматематика широко использует более сложные, нефинитные методы. Множество термов любой формализованной теории является ал­геброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно: булевой ал­геброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. — в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и то­пологического пространства. С этой точки зрения представляется ес­тественным применение в метаматематике методов алгебры, теории решеток (струк­тур), теории множеств и топологии. Широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций.

Теоремы Гёделя можно было воспринимать как «конец», но, свидетельствуя об ограниченности финитизма, формализма и связанной с ними гильбертовской программы, а также аксиоматического метода в целом, эти теоремы в то же время послужили мощным стимулом поиска средств доказательств (в частности, доказательств непротиворечивости) более сильных, чем финитные, но и в определённом смысле конструктивных. Одним из таких методов явилась трансфинитная индукция до первого недостижимого конструктивного трансфинита. Этот путь позволил получить доказательство непротиворечивости арифметики (Г. Генцен, В. Аккерман, П. С. Новиков, К. Шютте, П. Лоренцен и др.). Другим примером может служить ультраинтуиционистская программа обоснования математики, позволившая получить абсолютное (не пользующееся редукцией к какой-либо другой системе) доказательство непротиворечивости теоретико-множественной системы аксиом Цермело — Френкеля.

Цели и задачи[править | править вики-текст]

Метаматематика исследует следующие вопросы:

  • непротиворечивости и полноты форма­лизованных теорий;
  • независимость аксиом;
  • проблему разрешимости;
  • вопросы определимости и погружения одних теорий в другие;
  • дает точное определение понятия доказательства для различ­ных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции;
  • изучает проблемы интерпретации формальных систем и их раз­личные модели;
  • устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями.

Предмет и метод метаматематики[править | править вики-текст]

Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения — «сокращенными выражениями», которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны».

Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной логики и решения математических задач.

Методом является математическая логика.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гастев Ю. Метаматематика. — Большая советская энциклопедия.
  • Гильберт Д. Основания геометрии. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — 491 с.
  • Энгелер Э. Метаматематика элементарной математики. — М.: Мир, 1987. — 128 с.
  • Клини С. К. Введение в метаматематику / Пер. с англ. — М.: Иностранная литература, 1957. — 526 с.
  • Карри Х. Б. Основания математической логики / пер. с англ.,. — М., 1969. — гл. 2—3 с.
  • Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел / пер. с нем.. — М., 1967. — с. 77—153 с.
  • Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / пер. с англ.. — М., 1948.


Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]