Метод Адамса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ме́тод А́дамса — разностный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий вычислять таблицу приближённых значений решения в начальных точках.

Назван по имени предложившего его английского астронома Дж. К. Адамса в 1855.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x_0) = y_0. Численное решение задачи состоит в построении приближенного значения y_1 решения уравнения y(x) в точке x_1 = x_0 + h.

Методами Адамса называют группу многошаговых методов, в которых приближенное решение y_{n+1} = y(x_{n+1}) в точке x_{n+1}=x_0+h(n+1) вычисляется по формуле, использующей полином P(x) наименьшей степени, интерполирующий правую часть f(x,y) по значениям f_n, f_{n-1}, ...,f_{n-k+1}, f_r = f(x_r,y_r).

Методы, в которых P(x) = P_{kn}(x) называют k-шаговыми явными методами Адамса — Башфорта, а методы, в которых P(x) = P_{(k+1)(n+1)}(k+1)-шаговыми неявными методами Адамса — Мултона. Методы Адамса k-го порядка требуют предварительного вычисления решения в k начальных точках. Часто для вычисления дополнительных начальных значений используется 4-стадийный метод Рунге — Кутты 4-го порядка точности.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Локальная погрешность методов Адамса  k-го порядка —  O(h^k).
  • Методы Адамса обладают лучшей по сравнению с методами Рунге — Кутта устойчивостью.

Библиография[править | править исходный текст]

  • Березин И. С. и Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 2, М., 1959.