Квазиклассическое приближение

Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х. А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 году математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, и Крамерс, и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: т. н. «старая квантовая теория» изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.

Вывод

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)$

которое можно переписать в виде

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)$

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

$\Psi (x)=e^{\Phi (x)}$

Φ должна удовлетворять уравнению

$\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$

где $\Phi '$ означает производную от $\Phi$ по x. Разделим $\Phi '(x)$ на действительную и мнимую части, вводя действительные функции A и B:

$\Phi '(x)=A(x)+iB(x)$

Тогда амплитуда волновой функции $e^{\int ^{x}A(x')dx'}$, а фаза — ${\int ^{x}B(x')dx'}$. Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:

$A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\;$

$B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;$

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням $\hbar$. Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого $\hbar ^{-1}$, чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.

$A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)$

$B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)$

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

$A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)$

$A_{0}(x)B_{0}(x)=0$

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить $A_{0}(x)=0$ и получить

$B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}$

Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

$\Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}$

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим $B_{0}(x)=0$ и получим

$A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}$

Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

$\Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}$

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где $E=V(x)$ и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота.

Обозначим классическую точку поворота $x_{1}$. Вблизи $E=V(x_{1})$, можно разложить ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$ в ряд.

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots$

Для первого порядка получим

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)$

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:

$\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{+{\frac {1}{3}}}J_{+{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)+C_{-{\frac {1}{3}}}J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)\right)$

Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между $C,\theta$ и $C_{+},C_{-}$:

$C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$

$C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Что завершает построение глобального решения.

Литература

• Покровский В. Л. Квазиклассическое приближение. Архивная копия от 16 июня 2011 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
• ВКБ-метод. Архивная копия от 15 марта 2012 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
• Фрёман H., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. — М.: Мир, 1967. — 166 с.
• Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 296 с.