Метод Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Описание метода

Для системы $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными (над произвольным полем)

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\ \end{cases}$

с определителем матрицы системы $\Delta$, отличным от нуля, решение записывается в виде

$x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\ a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

$(c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n)\cdot\Delta = -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\ c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} & 0\\ \end{vmatrix}$

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что $\Delta$ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы $b_1,b_2,...,b_n$ и $x_1,x_2,...,x_n$, либо набор $c_1,c_2,...,c_n$ состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Система линейных уравнений:

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\ \end{cases}$

Определители:

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \$

$\Delta_2=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{vmatrix}$

Решение:

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}$

Пример:

$\begin{cases} 2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 30\\ x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 150\\ 2x_1 + 10x_2 + 9x_3 = 110\\ \end{cases}$

Определители:

$\Delta=\begin{vmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=5,\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\ 110 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=-760,\ \$

$\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & 30 & 4 \\ 1 & 150 & 2 \\ 2 & 110 & 9 \\ \end{vmatrix}=1350,\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix} 2 & 5 & 30 \\ 1 & 3 & 150 \\ 2 & 10 & 110 \\ \end{vmatrix}=-1270.$

$x_1=-\frac{760}{5}=-152,\ \ x_2=\frac{1350}{5}=270,\ \ x_3=-\frac{1270}{5}=-254$

Вычислительная сложность

Метод Крамера требует вычисления $n+1$ определителей размерности $n\times n$. При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка $O(n^4)$, что хуже, чем если бы метод Гаусса напрямую использовался для решения системы уравнений. Поэтому метод считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью $O(n^3)$, сравнимой со сложностью метода Гаусса.