Метод Монте-Карло

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ме́тод Мо́нте-Ка́рло (методы Монте-Карло, ММК) — общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.

История[править | править вики-текст]

Алгоритм Бюффона для определения числа Пи[править | править вики-текст]

Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно давно. Примером может служить способ определения числа Пи, который был предложен Бюффоном еще в 1777 году. Суть метода была в бросании иглы длиной L на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии r друг от друга (см. Рис. 1).

Рисунок 1. Метод Бюффона

Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что r>L) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

p=\int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{l\sin{\theta}} \frac{1}{r\pi}dAd\theta, где

  • A — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
  • \theta — угол иглы относительно прямых.

Этот интеграл просто взять: p=\frac{2L}{r\pi\,} (при условии, что r>L), поэтому подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить это число. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы[1]. Результаты представлены в следующей таблице:[источник не указан 1984 дня]

Число бросаний Число пересечений Длина иглы Расстояние между прямыми Вращение Значение Пи Ошибка
Первая попытка 500 236 3 4 отсутствует 3.1780 −0.03640734
Вторая попытка 530 253 3 4 присутствует 3.1423 −0.00070734
Третья попытка 590 371 5 2 присутствует 3.1416 +0.00000734

Комментарии:

  • Вращение плоскости применялось[источник не указан 1984 дня] (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
  • В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений[править | править вики-текст]

Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце XIX века. В 1899 году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решётке может давать приближенное решение одного из видов параболического дифференциального уравнения[2]. Андрей Николаевич Колмогоров в 1931 году дал большой толчок развитию стохастических подходов к решению различных математических задач, поскольку он сумел доказать, что цепи Маркова связаны с некоторыми интегро-дифференциальными уравнениями. В 1933 году Иван Георгиевич Петровский показал, что случайное блуждание, образующее Марковскую цепь, асимптотически связано с решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных. После этих открытий стало понятно, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений.

Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе[править | править вики-текст]

Сначала Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон фон Нейман и Станислав Улам в 1940-х в Лос-Аламосе предположили, что можно использовать связь между стохастическими процессами и дифференциальными уравнениями «в обратную сторону». Они предложили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде.

Идея была развита Уламом, который, раскладывая пасьянсы во время выздоровления после болезни, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, Улам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.

Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком.

Дальнейшее развитие и современность[править | править вики-текст]

В 1950-х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND. Одними из первых Метод Монте-Карло для расчёта ливней частиц применили советские физики А. А. Варфоломеев и И. А. Светлолобов[3]

В 1970-х годах в новой области математики — теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения точного ответа) которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать (например, задача определения объёма выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве) и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время.

В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем.

Интегрирование методом Монте-Карло[править | править вики-текст]

Рисунок 2. Численное интегрирование функции детерминистическим методом

Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рисунке 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с n-мерной функцией. Тогда нам необходимо 25^n отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования[править | править вики-текст]

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx

Рассмотрим случайную величину ~u, равномерно распределённую на отрезке интегрирования ~[a,b]. Тогда ~f(u) также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как
\mathbb{E}f(u)=\int\limits_a^b f(x)\varphi(x)\,dx, где ~\varphi(x) — плотность распределения случайной величины ~u, равная \frac{1}{b-a} на участке ~[a,b].

Таким образом, искомый интеграл выражается как
\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx = (b-a)\mathbb{E}f(u).

Но матожидание случайной величины ~f(u) можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем ~N точек, равномерно распределённых на ~[a,b], для каждой точки ~u_i вычисляем ~f(u_i). Затем вычисляем выборочное среднее: \frac{1}{N}\sum^{N}_{i=1}f(u_i).

В итоге получаем оценку интеграла: \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\approx\frac{b-a}{N}\sum^{N}_{i=1}f(u_i)

Точность оценки зависит только от количества точек ~N.

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как \frac{b-a}{N}, и суммируем их площади.

Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования[править | править вики-текст]

Рисунок 3. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

  • ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого S_{par} можно легко вычислить; любая сторона прямоугольника содержит хотя бы 1 точку графика функции, но не пересекает его;
  • «набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;
  • определим число точек (K штук), которые попадут под график функции;
  • площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением S = S_{par}\frac{K}{N}

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

Использование выборки по значимости[править | править вики-текст]

При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: выборка по значимости.

Оптимизация[править | править вики-текст]

Различные вариации метода Монте-Карло можно использовать для решения задач оптимизации. Например, алгоритм имитации отжига.

Применение в физике[править | править вики-текст]

Компьютерное моделирование играет в современной физике важную роль и метод Монте-Карло является одним из самых распространённых во многих областях от квантовой физики до физики твёрдого тела, физики плазмы и астрофизики.

Алгоритм Метрополиса[править | править вики-текст]

Традиционно метод Монте-Карло применялся для определения различных физических параметров систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Предположим, что имеется набор W(S) возможных состояний физической системы S. Для определения среднего значения \overline{A} некоторой величины A необходимо рассчитать \overline{A}=\sum_{S} A(S)P(S), где суммирование производится по всем состояниям S из W(S), P(S) — вероятность состояния S.

Динамическая (кинетическая) формулировка[править | править вики-текст]

Прямое моделирование методом Монте-Карло[править | править вики-текст]

Прямое моделирование методом Монте-Карло какого-либо физического процесса подразумевает моделирование поведения отдельных элементарных частей физической системы. По сути это прямое моделирование близко к решению задачи из первых принципов, однако обычно для ускорения расчётов допускается применение каких-либо физических приближений. Примером могут служить расчёты различных процессов методом молекулярной динамики: с одной стороны система описывается через поведение её элементарных составных частей, с другой стороны, используемый потенциал взаимодействия зачастую является эмпирическим.

Примеры прямого моделирования методом Монте-Карло:

Квантовый метод Монте-Карло[править | править вики-текст]

Квантовый метод Монте-Карло широко применяется для исследования сложных молекул и твёрдых тел. Это название объединяет несколько разных методов. Первый из них это вариационный метод Монте-Карло, который по сути является численным интегрированием многомерных интегралов, возникающих при решении уравнения Шрёдингера. Для решения задачи, в которой участвует 1000 электронов, необходимо взятие 3000-мерных интегралов, и при решении таких задач метод Монте-Карло имеет огромное преимущество в производительности по сравнению с другими численными методами интегрирования. Другая разновидность метода Монте-Карло — это диффузионный метод Монте-Карло.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Math Surprises: An Example (англ.)
  2. Fishman, 1996, p. 344
  3. Варфоломеев A.A., Светлолобов И. А. ЖЭТФ. 1959. Т.36. с.1263-1270

Ссылки[править | править вики-текст]