Метод Трахтенберга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Система Трахтенберга — система эффективного счёта, основанная на оригинальных цифровых правилах раздельного получения цифр единиц E и десятков D для таблицы умножения однозначных чисел. Есть несколько цифровых алгоритмов для умножения на 11, 12, 13.

В системе описан экономный способ записи расчётов при умножении многозначных чисел на однозначные множители. Есть предложения по оптимизации выполнения других арифметических действий: сложения, деления.

Разработана математиком Яковом Трахтенбергом.

История создания системы Трахтенберга[править | править вики-текст]

Представляет интерес предыстория создания Яковом Трахтенбергом системы быстрого счёта - совокупности методов быстрых и рациональных вычислений. Он родился в Одессе в 1888 г., получил образование инженера, окончив с отличием Петербургский горный институт. Работал главным инженером Обуховского судостроительного завода. Убеждённый пацифист, Трахтенберг отдавал много сил пропаганде своих взглядов и в России, и в Германии, куда он переселился в 1919 г., а затем в Австрии, бежав туда после прихода к власти Гитлера.

Я. Трахтенбергу принадлежит собственный метод преподавания иностранных языков, нашедший признание и широкое распространение в Германии.

После аншлюса Трахтенберга был арестован фашистами и семь лет провёл в концентрационных лагерях. Жена помогла ему совершить побег из лагеря, он бежал в Югославию. Гестаповцы настигли его и там, опять бросили в концлагерь. В страшных нечеловеческих условиях Трахтенберг направил душевные силы на сохранение здорового духа и психики. Все свободное время он посвятил арифметике, её замкнутому миру чисел. Система быстрого счета - результат размышлений за эти страшные годы.

В 1944 г. жене стало известно о его предстоящей казни, она сумела еще раз спасти Якова. Сначала добилась перевода мужа в Лейпциг. Здесь снова организовала побег. Яков вскоре снова был арестован и отправлен на тяжёлые работы в каменоломню в Триест. Последний побег оказался удачным, супруги Трахтенберг приехали в Швейцарию.

После войны Трахтенберг организовал в Цюрихе свой математический центр - единственное в своем роде учебное заведение. Проводились курсы, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу. Методы Трахтенберга пользовались единодушным признанием публики.

Общее умножение[править | править вики-текст]

В системе Трахтенберга применяется общеизвестный метод поразрядного умножения, где в вычислениях многократно используется таблица умножения однозначных чисел AxB=[D;E]. В обсуждаемой системе устных вычислений главные усилия направлены на оптимизацию действий вычислителя за счёт удачного расположения исходных данных и результатов на бумаге и использования, где это возможно, цифровых правил непосредственного указания цифр единиц E и цифр десятков D произведения AxB.

Значительная часть примеров, описываемых Трахтербергом, относится к случаю умножения многозначного числа на однозначный множитель, который иногда заменяется на число до 13. Предлагаемые алгоритмы относятся к такому варианту устного счёта, в процессе которого можно записывать отдельные полученные цифры ответа и забывать о них. Внимание вычислителя сосредоточено на действиях по вычислению нового разряда.

У Трахтенберга есть алгоритмы, в которых число результата получено вычислениями "справа налево", что противоречит общей тенденции в технологии устного счёта. Вычислители стараются получать числовые разряды ответа "слева направо", так как первый шаг вычислений в уме - приблизительно определить величину результата.

Отметим, что в 40-50-е года не существовало электронных калькуляторов, механические арифмометры из-за громоздкости нельзя было носить собой. Любые полезные рекомендации по решению небольших практических задач пользовались успехом у публики.

Общее деление[править | править вики-текст]

Основано на методе умножения

Что дают цифровые правила[править | править вики-текст]

Цифровые правила для таблицы умножения AxB=[D;E] - это алгоритмы прямого указания цифр произведения - десятков D или единиц E - по известным величинам однозначных множителей A и B. Получаем две функции - функцию десятков D(A;B) и функцию единиц E(A;B). Если цифровое правило просто и легко выполнить (что бывает не всегда), то его использование экономит усилия.

Чтобы привлечь внимание к системе цифровых правил, Я. Трахтенберг парадоксально заявлял о том, что не надо учить таблицу умножения, а нужно учить цифровые правила.

Почему цифровые правила полезны для таблицы умножения? При умножении многозначных множителей приходится много раз поразрядно перемножать AxB. Однако в традиционной системе устного счёта (аудиомоторный счёт) предлагается запоминать произведение в виде фразы "пять пять - двадцать пять" и пр., где одновременно присутствуют и десятки, и единицы ответа.

Общий алгоритм ("алгоритм Евклида") показывает универсальный способ умножения. Для двузначных множителей [M;A]x[N;B], где M, N - десятки; A, B - единицы:

[M;A]x[N;B]  = [ (MxN); (MxB + NxA); (AxB) ].

В общем алгоритме умножения многозначных чисел последняя цифра полностью определена произведением последних цифр сомножителей, записанных в разряде единиц. Здесь полезны цифровые правила единиц E(A;B), не требующие упоминания о величине десятков.

Для получения цифры десятков D = (MxB + NxA) нужно использовать кроме цифр единиц A, B еще и цифры десятков M, N. В традиционной технологии счёта здесь возникает лишняя работа. Способ запоминания таблицы умножения в виде фразы заставляет выполнять лишние действия с не нужными в данный момент разрядами: умножаем MxB=[D1;E1], отбрасываем десятки. Умножаем NxA=[D2;E2], отбрасываем десятки. Складываем единицы E1+E2, записываем единицы этой суммы в разряд десятков D произведения. Напротив, используя цифровые правила, можно достичь экономии, и сразу же получить E1(M;B)+E2(N;A).

Общеизвестны слеующие цифровые правила.

Умножение на десять: Ax10=[A;0] - приписать нуль справа к множителю A. Тогда A - десятки, 0 - единицы произведения.

Умножение на 5: Ax5=[ (A/2); 0] - умножить число на 10 и разделить пополам. Если A - нечётно, десятки равны целой части от деления A/2 пополам, единицы равны 5.

Умножение на 9. Формула для разрядов 9xA=[(A-1); (10-A)], десятки на единицу меньше множителя, единицы равны дополнению множителя.

Умножение на 8 способом перехода к дополнению. Обозначим звездочкой дополнение числа A до полного десятка A* = 10 - A. Тогда

8xA = [(A – 8*); (A* x 8*)] = [(A – 2); (A* x 2)]. 

Если множители A и B более 5, находим их дополнения A* и B*, величина которых менее 5. Затем раздельно подсчитываем десятки D и единицы E результата.

Проверка даёт правильные результаты для всех множителей.

Пусть A – чётное.

8x2 = [(2–2); (2*x2)] = 0 + 8x2 = 16

8x4 = [(4–2); (4*x2)] = 20 + 6x2 = 20 + 12 = 32

8x6 = [(6–2); (6*x2)] = 40 + 4x2 = 40 + 8 = 48

8x8 = [(8–2); (8*x2)] = 60 + 2x2 = 60 + 4 = 64

Пусть A – нечётное.

8x3 = [(3–2); (3*x2)] = 10 + 7x2 = 10 + 14 = 24

8x5 = [(5–2); (5*x2)] = 30 + 5x2 = 30 + 10 = 40

8x7 = [(7–2); (7*x2)] = 50 + 3x2 = 50 + 6 = 56

8x9 = [(9–2); (9*x2)] = 70 + 1x2 = 70 + 2 = 72.

Эти цифровые правила эффективны для множителей более 5. Не стоит применять в устном счёте эти цифровые правила к множителям менее 5.

Цифровые правила Трахтенберга для умножения[править | править вики-текст]

Названные выше известные цифровые правила умножения на 10, на 9, на 8, на 5 Трахтенберг использовал в своей системе эффективных вычислений.

Произведения (6xA) и (7xA) Трахтенберг предлагает вычислять в уме через известное, заученное заранее, значение (5xA).

Правило умножения на 6. Формула 6xA=(5xA) + A.

Проверка.

Пусть A – чётное, 6xA = [(A/2); A].

6x2 = [(2/2); 2] = 10 + 2 = 12

6x4 = [(4/2); 4] = 20 + 4 = 24

6x6 = [(6/2); 6] = 30 + 6 = 36

6x8 = [(8/2); 8] = 40 + 8 = 48.

Пусть A – нечётное, 6xA = [(A/2); (A + 5)]. У числа, деленного пополам, отбрасывается дробная часть.

6x3 = [(3/2); (3 + 5)] = 10 + 8 = 18

6x5 = [(5/2); (5 + 5)] = 20 + 10 = 30

6x7 = [(7/2); (7 + 5)] = 30 + 12 = 42

6x9 = [(9/2); (9 + 5)] = 40 + 14 = 54


Правило умножения на 7. Формула 7xA=(5xA) + 2xA.

Проверка.

Пусть A – чётное, 7xA = [(A/2); (2A)].

7x2 = [(2/2); (2x2)] = 10 + 4 = 14

7x4 = [(4/2); (4x2)] = 20 + 8 = 28

7x6 = [(6/2); (6x2)] = 30 + 12 = 42

7x8 = [(8/2); (8x2)] = 40 + 16 = 56.

Пусть A – нечётное, 6xA = [(A/2); (2A + 5)]. У числа, деленного пополам, отбрасывается дробная часть.

7x3 = [(3/2); (2x3+5)] = 10 + 11 = 21

7x5 = [(5/2); (2x5+5)] = 20 + 15 = 35

7x7 = [(7/2); (2x7+5)] = 30 + 19 = 49

7x9 = [(9/2); (2x9+5)] = 40 + 23 = 63.

Заметим, что цифровые правила Трахтенберга для умножения 7 на нечётный множитель менее эффективны для устного счёта из-за большого числа микродействий.


Правило умножения на 4.

Правила Трахтенберга умножения 4xA для чётного A удобны и просты.

Пусть A – чётное. Формула 4xA = 10x(A/2-1) + A*.

Цифровая разрядная запись 4xA = [(A/2 - 1); A*].

Проверка.

4x2 = [(2/2 - 1); 2*] = 0 + 8 = 8

4x4 = [(4/2 - 1); 4*] = 10 + 6 = 16

4x6 = [(6/2 - 1); 6*] = 20 + 4 = 24

4x8 = [(8/2 - 1); 8*] = 30 + 2 = 32.

Примеры умножения на 4xA для нечётного A по правилам Трахтенберга оказываются сложнее.

Пусть A – нечётное. Формула 4xA = 10x(A/2-1) + (A* + 5).

Цифровая разрядная запись 4xA = [(A/2 - 1); (A* + 5)].

Проверка.

4x3 = [(3/2 - 1); (3* + 5)] = 0 + (7 + 5) = 0 + 12 = 12

4x5 = [(5/2 - 1); (5* + 5)] = 10 + (5 + 5) = 10 + 10 = 20

4x7 = [(7/2 - 1); (7* + 5)] = 20 + (3 + 5) = 20 + 8 = 28

4x9 = [(9/2 - 1); (9* + 5)] = 30 + (1 + 5) = 30 + 6 = 36.


Правило умножения на 3. При поиске и реализации правила умножения на 3 у Трахтенберга возникли трудности (как сейчас ясно, непреодолимые в рамках "линейной" математической теории и "линейных" представлений). Чтобы не оставлять таблицу умножения без правила умножения на 3, Я.Трахтенберг использовал в качестве базового исходного числа удвоение, которое в его системе рассматривается как исходная величина, заученная заранее. Получились следующие алгоритмы.

Пусть А - чётное. Цифровая разрядная запись 3xA = [(A/2 - 2); (A*x2)].

Проверка.

3x2 = [(2/2 - 2); (2* x 2)] = [(1 - 2); (8 x 2)] = -10 + 16 = 6

3x4 = [(4/2 - 2); (4* x 2)] = [(2 - 2); (6 x 2)] = 0 + 12 = 12

3x6 = [(6/2 - 2); (6* x 2)] = [(3 - 2); (4 x 2)] = 10 + 8 = 18

3x8 = [(8/2 - 2); (8* x 2)] = [(4 - 2); (2 x 2)] = 20 + 4 = 24.

Пусть А - нечётное. Цифровая разрядная запись 3xA = [(A/2 - 2); (A*x2 + 5)].

Проверка.

3x3 = [(3/2 - 2); (3* x 2 + 5)] = [(1 - 2); (7x2 + 5)] = -10 + (14 + 5) = 9

3x5 = [(5/2 - 2); (5* x 2 + 5)] = [(2 - 2); (5x2 + 5)] = 0 + (10 + 5) = 12

3x7 = [(7/2 - 2); (7* x 2 + 5)] = [(3 - 2); (3x2 + 5)] = 10 + (6 + 5) = 21

3x9 = [(9/2 - 2); (9* x 2 + 5)] = [(4 - 2); (1x2 + 5)] = 20 + (2 + 5) = 27.

Все вычисления по этим цифровым правилам умножения на 3 не эффективны. Проще и быстрее запоминать и применять фразы о результатах примеров третьего листа умножения.

Заметим, что эффективные цифровые правила единиц для умножения имеются в наглядной арифметике, где применяются не только поразрядные аналитические формулы, но и геометрические преобразования на телефонной Т-матрице. В наглядной арифметике предлагается полная универсальная система цифровых правил (не только умножения, но и других арифметических действий).

В отличие от системы Трахтенберга, в геометрической интерпретации правило умножения 3xA выполняется как поворот на Т-матрице радиального луча множителя A на прямой угол по часовой стрелке. После поворота радиальный луч показывает цифру единиц произведения [3xA]=[D;E], где цифра единиц

E ( 3 x A ) = R ( A ).

Функция R является поворотом радиального луча любой цифры A на Т-матрице по часовой стрелке на прямой угол, значением функции R является однозначное число. По определению, R(5)=5, R(0)=0.

Другие алгоритмы умножения[править | править вики-текст]

Умножение на 12[править | править вики-текст]

Правило: чтобы умножить на 12:
Начни с правостоящей цифры, удвой каждую цифру и прибавь её соседа. (Под соседом подразумевается цифра справа.)

Это даёт одну цифру результата. Если ответ содержит больше одной цифры, просто переносим 1 или 2 в следующий регистр.
Пример: 316 × 12 = 3 792:
В этом примере:

  • последняя цифра 6 не имеет соседей.
  • 6 — сосед единице — 1.
  • единица — 1 соседка тройке — 3.
  • тройка — 3 соседка двум добавленным слева нулям.
  • второй добавленный ноль сосед первому.

6 × 2 = 12 (2 переносим 1)
1 × 2 + 6 + 1 = 9
3 × 2 + 1 = 7
0 × 2 + 3 = 3
0 × 2 + 0 = 0

Умножение на 11[править | править вики-текст]

Правило: Добавь цифру к её соседу. (Под соседом подразумевается цифра справа.)

Пример: 3,425 × 11 = 37,675

0,3425 × 11 = (0+3), (3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 3,7675

Доказательство:

11 = 10+1

Таким образом,

3425 x 11 = 3425 x(10+1) = 34250 + 3425 = 37675.

Литература[править | править вики-текст]

  • Trachtenberg, J. (1960). The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA.
  • Катлер Э., Мак-Шейн Р.Система быстрого счёта по Трахтенбергу, 1967.
  • Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Rapid mental computation system as a tool for algorithmic thinking of elementary school students development. European Researcher 25(7): 1105—1110, 2012 [1].

Программы[править | править вики-текст]

iOS (iPhone, iPad)

  • Научись умножать без таблицы [2]

Android

  • Научись умножать без таблицы - Google Play [3], Amazon [4], Barnes and Noble [5]

BlackBerry

  • Научись умножать без таблицы [6]