Метод бесконечного спуска

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, метод бесконечного спуска — это метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено.

Часто метод бесконечного спуска используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме. Из предположения, что решение существует, вытекает существование другого решения, которое в некотором смысле меньше. Тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего. Это вызывает противоречие с тем, что в любом подмножестве множества натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Метод бесконечного спуска был существенно развит Пьером Ферма.

Примеры[править | править исходный текст]

Доказательство иррациональности √2[править | править исходный текст]

От противного. Предположим, что \sqrt{2} — рациональное число. Это означает, что его можно записать в следующем виде:

\sqrt{2} = \frac{p}{q},

для некоторых натуральных чисел p и q. Тогда

2 = \frac{p^2}{q^2}
2q^2 = p^2, \,

Это означает, что p — чётное число. Пусть p=2r и

\displaystyle p^2 = (2r)^2 = 4r^2.

Подставляем вместо p^2:

2q^2 = 4r^2, \,

Делим на 2 обе части:

q^2 = 2r^2, \,

значит, q — чётное число. Таким образом, исходные числа p и q можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление \sqrt{2}. С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. Значит, \sqrt{2} не является рациональным числом. Следовательно, \sqrt{2} иррационален.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]