Метод итерации

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод итерации или метод простой итерациичисленный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения, являющегося более точным.

Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (в результате итерационного процесса). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня.

Описание метода[править | править код]

Пусть СЛАУ представлена в виде:

Выбирается начальное приближение . На каждом шаге считается новое приближение из старого по формуле

или в координатной форме

.

Приближения продолжают считаться до того, пока не достигнут нужной степени точности. Достигло ли приближение нужной степени точности или нет проверяется при помощи условия остановки, которые могут отличаться в разных реализациях.

Приведение СЛАУ к нужному виду[править | править код]

Пусть дана СЛАУ

Для того, чтобы воспользоваться методом простой итерации, необходимо привести её к виду . Представим матрицу в виде , где — обратима. Тогда система приводится к виду следующим образом:

Матрицы и могут быть выбраны различными способами; в зависимости от конкретного способа получаются различные разновидности метода. Обозначим далее за — строго нижнюю треугольную часть , за — диагональную часть , за — строго верхнюю треугольную часть . Получающиеся таким способом разновидности эквиваленты следующим методам:

Здесь эквивалентность понимается в смысле равенства последовательностей приближений при равенстве начальных приближений .

Условия сходимости процесса[править | править код]

Необходимое и достаточное условие сходимости: , где — спектральный радиус [1].

Достаточное условие сходимости: [1].

В частности при выборе нормы, подчинённой векторной условие сходимости приобретает вид (где ).

При выборе нормы условие приобретает вид (где ), что называют условием диагонального преобладания исходной матрицы .

Оценка погрешности[править | править код]

Пусть  — вектор точного решения. Тогда можно получить следующие оценки погрешности приближённого решения на -м шаге алгоритма[2]:

  • априорная:
  • апостериорная:

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Физматлит, 1959. — Т. II.
  • Лебедева, А. В., Пакулина, А. Н.. Практикум по методам вычислений. Часть 1. — СПб.: СПбГУ, 2021. — 156 с.