Метод конечных разностей во временной области

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод конечных разностей во временно́й области (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD) — один из наиболее популярных методов численной электродинамики, основанный на дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной форме.


Описание[править | править исходный текст]

FDTD относится к общему классу сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Базовый алгоритм метода был впервые предложен Кейном Йи (Калифорнийский университет) в 1966 г. в статье «Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell’s equations in isotropic media» журнала «IEEE Transactions: Antennas and Propagation»[1]. Однако, название «Finite-difference time-domain» и аббревиатура FDTD были даны методу Алленом Тафловом (Северо-западный университет, штат Иллинойс).

В первоначальном узком смысле под FDTD подразумевалось использование базового алгоритма Йи для численного решения уравнений Максвелла. В современном более широком смысле FDTD включает в себя множество самых разнообразных возможностей: моделирование сред с дисперсными и нелинейными свойствами, применение различных типов сеток (помимо первично предложенной прямоугольной сетки Йи), использование методов постпроцессорной обработки результатов и т. д.

Примерно с 1990 г. метод конечных разностей стал основным для моделирования самых разных оптических приложений. Он может быть с успехом применен для решения широкого спектра задач: от моделирования сверхдлинных электромагнитных волн в геофизике (включая процессы в ионосфере) и микроволн (например для изучения сигнатурной радиолокации, расчёта характеристик антенн, разработки беспроводных устройств связи, в том числе цифровых) до решения задач в оптическом диапазоне (фотонные кристаллы, наноплазмоника, солитоны и биофотоника). К 2006 г. число публикаций, посвященных FDTD, достигло двух тысяч.

В настоящее время существует порядка 30 коммерческих программ FDTD, а также проекты с открытым исходным кодом (в числе которых несколько русских).

Алгоритм Йи[править | править исходный текст]

В уравнениях Максвелла изменение электрического поля E (частная производная) зависит от распределения в пространстве магнитного поля H (ротор). Аналогично, изменение поля H зависит от распределения в пространстве поля Е.

На этом наблюдении основан алгоритм Йи. Сетки для полей E и H смещены по отношению друг к другу на половину шага дискретизации времени и по каждой из пространственных переменных. Конечно-разностные уравнения позволяют определить поля E и H на данном временном шаге на основании известных значений полей на предыдущем.

При заданных начальных условиях алгоритм Йи дает эволюционное решение во времени от начала отсчета с заданным временным шагом.

Поля в ячейке сетки FDTD. Из таких ячеек составляется пространственная трёхмерная сетка Йи

Аналогичная (разделённая) сетка используется при решении задач гидродинамики (для давления и поля скорости).

Как и в любом другом разностном методе, в FDTD существует проблема неточного отображения границы тела на вычислительную сетку. Любая кривая поверхность, разделяющая соседние среды и геометрически не согласованная с сеткой, будет искажаться эффектом «лестничного приближения». Для решения данной проблемы можно использовать дополнительную сетку с большим разрешением в тех областях пространства, где расположены тела со сложной геометрической структурой[2]. Также можно видоизменять разностные уравнения в узлах сетки, находящихся вблизи границы между соседними телами[3]. Менее затратным методом является введение эффективной диэлектрической проницаемости вблизи границы между телами (subpixel smoothing) [4][5].

Численная схема FDTD не предполагает возможности табличного задания зависимости диэлектрической проницаемости от частоты. Однако, ее можно представить в виде апроксимации (фитинга) членами Дебая, Друде, Лоренца или Лоренца с поглощением. Такая аппроксимация не обязательно имеет физический смысл, и может быть получена численно, например с помощью программы [6].

Поглощающие граничные условия[править | править исходный текст]

Для того, чтобы ограничить объем сетки, в FDTD нужны особые поглощающие граничные условия, которые моделируют уход электромагнитной волны на бесконечность. Для этого использоваются поглощающие граничные условия Мура или Ляо[7], или идеально согласованных слои (Perfect Matched Layers, PML). Условия Мура или Ляо намного проще, чем PML. Тем не менее, PML — строго говоря, являющихся поглощающей приграничной областью, а не граничным условием как таковым — позволяет получить на порядки меньшие по величине коэффициенты отражения от границы.

Понятие идеально согласованных слоев (PML) было введено Жаном Пьером Беренже в статье журнала «The Journal of Computational Physics» в 1994 г.[8] Идея PML Беренже основывалась на разбиении исходных полей E и H на две компоненты, для каждой из которых должны решаться свои уравнения. Впоследствии были предложены усовершенствованные формулировки PML эквивалентные первоначальной формулировке Беренгера. Так, в одноосном PML (Uniaxial PML) используется анизотропный поглощающий материал, что позволяет не вводить дополнительные переменные и остаться в рамках исходных уравнений Максвелла[9]. Однако одноосный PML, как и PML в формулировке Беренже, не удобны тем, что в них отсутствует поглощение затухающих волн, что не позволяет помещать PML близко к рассеивающим телам. Этого недостатка лишен оборотный PML (Convolutional PML), основанный на аналитическом продолжении уравнений Максвелла в комплексную плоскость таким образом, что их решение экспоненциально затухает[10]. CPML также удобнее в ограничении бесконечных проводящих и дисперсных сред. Помимо этого математическая формулировка CPML обладает большей наглядностью и доступностью для понимания.

В некоторых случаях использование PML приводит к расходимости расчета FDTD. Эту проблему можно устранить путем помещения за PML дополнительной поглощающей стенки[11].

Порядок расчёта FDTD[править | править исходный текст]

Ход рассчёта FDTD выглядит следующим образом:

  • Задается счетная область, разрешение сетки и граничные условия. Граничные условия могут быть поглощающими или периодическими. Последние применяются для моделирования нормального падения плоской волны на периодическую структуру. Схема FDTD для моделирования наклонного падения требует периодических условий со сдвигом по времени, которые могут быть реализованы с помощью разных методов [12][13][14].
  • Внутри счетной области помещаются материальные тела с заданными оптическими свойствами (диэлектрическая проницаемость и магнитная проводимость).
  • Задается источник. Самый простой способ задания источника заключается в задании временной зависимости плотности тока J в уравнении Ампера. Такой тип источника обычно используется при моделировании диполей. Для генерации плоской волны более удобен другой тип источника, реализуемый с помощью метода полного и рассеянного поля (Total Field / Scattered Field).
  • Источник генерирует конечную во времени электромагнитную волну, спектральный состав которой должен покрывать интересующий диапазон частот. Далее, волна падает на тела, перерассеивается на них, и, при наличии поглощающих граничных условий, через какое-то время уходит из счетной области. История распространения волны сохраняется.
  • С помощью преобразования Фурье записанные значения полей переводятся в частотное представление. Далее, обрабатывая их (например, интегрируя поток энергии поля через какую-либо поверхность), можно получить оптические характеристики рассматриваемой структуры тел. Используя метод преобразования ближнего поля в дальнее (Neat to Far Transformation), можно получить значения полей за пределами счетной области на основнии эволюции поля внутри счетной области[15].

Достоинства и недостатки FDTD[править | править исходный текст]

Как и любой другой численный метод, FDTD имеет свои достоинства и недостатки.

Достоинства:

  • FDTD — это простой и интуитивно понятный метод.
  • Поскольку FDTD работает во временной области, он позволяет получить результат для широкого спектра длин волн за один расчет. Это может быть полезно при решении задач, в которых не известны резонансные частоты или в случае моделирования широкополосных сигналов.
  • FDTD позволяет создавать анимированные изображения распространения волны в моделируемом объеме.
  • FDTD удобен при задании анизотропных, дисперсных и нелинейных сред.
  • Метод позволяет непосредственно моделировать краевые эффекты и эффекты экранирования, причем поля внутри и вне экрана могут быть рассчитаны как напрямую, так и нет.

Недостатки:

  • Величина шага дискретизации по пространству должна быть значительно меньше исследуемых длин волн и типичных размером исследуемой структуры. В некоторых случаях (инверсные опалы с маленькими перегородками между шариками) это может потребовать сеток с маленьким шагом, что означает большие затраты памяти и большое время расчета.
  • FDTD рассчитывает поля внутри счетной области. Если требуется найти поле на большом расстоянии от источника, то необходимо увеличение счетной области и времени расчета. Существуют модификации метода для нахождения поля на удалении, но они требуют постобработки.

См. также[править | править исходный текст]

Источники[править | править исходный текст]

  1. Kane Yee (1966). «Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media». IEEE Transactions on Antennas and Propagation 14 (3): 302–307.
  2. S. S. Zivanovic, K. S. Yee, and K. K. Mei (1991). «A subgridding method for the Time Domain Finite-Difference Method to solve Maxwell's equations». IEEE Trans. Microware Theory Tech. 38: 471.
  3. T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar, and T. G. Moore (1992). «Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces». IEEE Trans. Antennas Propag. 40: 357.
  4. J. Nadobny, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard, and P. Wust (2003). «A 3-D tensor FDTD-formulation for treatment of sloped interfaces in electrically inhomogeneous media». IEEE Trans. Antennas Propag. 51: 1760.
  5. A. Deinega and I. Valuev (2007). «Subpixel smoothing for conductive and dispersive media in the FDTD method». Opt. Lett. 32: 3429.
  6. Фитинг диэлектрической проницаемости. Архивировано из первоисточника 9 июня 2012.
  7. G. Mur (1981). «Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations». IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 23 (4): 377–382.
  8. J. Berenger (1994). «A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves». Journal of Computational Physics 114 (2): 185–200.
  9. S. D. Gedney (1996). «An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices». IEEE Transactions on Antennas and Propagation 44 (12): 1630–1639.
  10. J. A. Roden and S. D. Gedney (2000). «Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media». Microwave and Optical Technology Letters 27 (5): 334–339.
  11. A. Deinega and I. Valuev (2011). «Long-time behavior of PML absorbing boundaries for layered periodic structures». Comp. Phys. Comm. 182: 149.
  12. I. Valuev, A. Deinega, and S. Belousov (2008). «Iterative technique for analysis of periodic structures at oblique incidence in the finite-difference time-domain method». Opt. Lett. 33: 1491.
  13. A. Aminian and Y. Rahmat-Samii (2006). «Spectral FDTD: a novel technique for the analysis of oblique incident plane wave on periodic structures». IEEE Trans. Antennas and Propagation 54: 1818.
  14. J. A. Roden, S. D. Gedney, M. P. Kesler, J. G. Maloney, and P. H. Harms (1998). «Time-domain analysis of periodic structures at oblique incidence: orthogonal and nonorthogonal FDTD implementations». Microwave Theory and Techniques 46: 420.
  15. K. R. Umashankar and A. Taflove (1982). «A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects». IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 24 (4): 397–405.


Ссылки[править | править исходный текст]

На русском[править | править исходный текст]

  • EMTL (Electromagnetic Template Library) (Бесплатная библиотека С++ для численных расчетов методом FDTD. Примеры расчетов, описание метода FDTD и самой библиотеки на русском языке.)
  • FDTDpro от Александра Зеленина (Программа расчета электромагнитных полей методом FDTD. Описание работы с программой и хорошее подробное описание метода FDTD на русском языке.)
  • ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ №5, 2006г. (Численное моделирование двумерных фотонных кристаллов. Статья.)

На английском[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Методу FDTD посвящено множество публикаций, однако основная их масса на английском языке. Ниже приведены ссылки на некоторые из них:

Пионерские работы[править | править исходный текст]

Граничные условия[править | править исходный текст]

Проблемы геометрии (лестничная аппроксимация, разномасштабное моделирование)[править | править исходный текст]

Сложные материалы (дисперсия, поглощение, нелинейность и т.д.)[править | править исходный текст]

Прикладные расчёты[править | править исходный текст]

Модификации метода (гибридные, безусловно устойчивые и т.д.)[править | править исходный текст]