Метод неопределённых коэффициентов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

[править] Применения

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

[править] Разложение дроби на простейшие

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби.

Пусть $p (z)$ и $q (z)$ — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена $p (z)$ меньше степени многочлена $q (z)$ , коэффициент при старшем члене многочлена $q (z)$ равен 1, $z i$ $i\in\{1,..,k\}$ ― корни многочлена $q (z)$ с кратностями $α i$ , следовательно,

$q(z) = (z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}..(z-z_k)^{\alpha_k}$

Функция $p / q$ представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей

$\frac{p(z)}{q(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac {A_{i,j}}{(z-z_i)^j},$

где $A i, j$ ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно степени $q$ ). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно $A i, j$ .

Примечание. Нахождение неизвестных можно упростить, если $q (z)$ имеет некратные корни $z j$ . После умножения на $z - z j$ последнего равенства и подстановки $z = z j$ непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента $A_j = \frac{p(z_j)}{\prod\limits_{i\neq j}(z_j-z_i)^{\alpha_i}}$ .

[править] Обращение ряда

Если функция $f (x)$ , не равная нулю при $x = 0$ разложена в ряд Маклорена:

$f(x)=a_1 x + a_2 x^2 + \ldots,$

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

$1/f(x)=b_1 x + b_2 x^2 + \ldots,$

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

$g(x)=c_1 x + c_2 x^2 + \ldots,$

При этом используется соотношение $g (f (x)) = x$ , то есть весь ряд для $f (x)$ подставляется вместо $x$ в ряд для $g (x)$ .

[править] Сумма степеней

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: $\sum_{i=0}^n i^k$ . Будем искать ответ в виде многочлена $k + 1$ -ой степени от $n$ . Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем $\sum_{i=0}^n i^3$ в виде $p (n) = a n 4 + b n 3 + c n 2 + d n + e$ .

По определению $p (n) - p (n - 1) = n 3$ , а также $p (1) = 1$ . Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

$\begin{cases} 4 a=1\\ -6a+3b=0\\ -a + b - c + d =0\\ 4 a - 3 b + 2 c = 0\\ a+b+c+d+e=1 \end{cases},$

откуда получаем ответ: $\sum_{i=0}^n i^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

[править] Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения $Δ p (n) = n 3$ , здесь же ищется решение уравнения $a_n f^{(n)}(x)+\ldots + a_2 f''(x)+a_1 f'(x)+a_0 f(x)=g(x)$ .

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

[править] Ссылки

Интересные примеры: разложение дроби

Метод неопределённых коэффициентов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Применения

[править] Разложение дроби на простейшие

[править] Обращение ряда

[править] Сумма степеней

[править] Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

[править] Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках