Метод неопределённых коэффициентов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения[править | править исходный текст]

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие[править | править исходный текст]

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби.

Пусть P и Qмногочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена P меньше степени многочлена Q. Будем полагать, что степень многочлена Q равна n, коэффициент при старшем члене многочлена Q равен 1, а z_k, k \le n ― различные корни многочлена Q с кратностями \alpha_k\ge 1, соответственно. Отсюда имеем

Q(z) = (z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}..(z-z_k)^{\alpha_k},
\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_k=n,

Функция P/Q представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей

\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac {A_{i,j}}{(z-z_i)^j},

где A_{i,j} ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно n). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно A_{i,j}.

Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если Q имеет только некратные корни z_k, k=1,...,n, т.е. все \alpha_k=1 и

\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^n\frac {A_{i}}{z-z_i}.

После умножения на z-z_k последнего равенства и подстановки z = z_k непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента

A_k = \frac{p(z_k)}{\prod\limits_{i\neq k}(z_k-z_i)}, \quad k=1,...,n..

Обращение ряда[править | править исходный текст]

Если функция f(x), не равная нулю при x=0 разложена в ряд Маклорена:

f(x)=a_1 x + a_2 x^2 + \ldots,

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

1/f(x)=b_1 x + b_2 x^2 + \ldots,

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

g(x)=c_1 x + c_2 x^2 + \ldots,

При этом используется соотношение g(f(x))=x, то есть весь ряд для f(x) подставляется вместо x в ряд для g(x).

Сумма степеней[править | править исходный текст]

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: \sum_{i=0}^n i^k. Будем искать ответ в виде многочлена k+1-ой степени от n. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем \sum_{i=0}^n i^3 в виде p(n) = a n^4+b n^3 +c n^2+d n +e.

По определению p(n)-p(n-1)=n^3, а также p(1)=1. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:


\begin{cases}
4 a-1=0\\
-6a+3b=0\\
4 a - 3 b + 2 c = 0\\
-a + b - c + d =0\\
a+b+c+d+e=1
\end{cases},

откуда получаем ответ: \sum_{i=0}^n i^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения[править | править исходный текст]

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения \Delta p(n)=n^3, здесь же ищется решение уравнения a_n f^{(n)}(x)+\ldots + a_2 f''(x)+a_1 f'(x)+a_0 f(x)=g(x).

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

Ссылки[править | править исходный текст]