Метод подвижных клеточных автоматов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Метод подвижных клеточных автоматов
MCA friction net.gif
Подвижные клеточные автоматы активно меняют своих соседей за счет разрыва существующих связей между автоматами и образования новых связей (моделирование контактного взаимодействия)
Тип метода
Континуальный/Дискретный

Дискретный

Аналитический/Численный

Численный

Характеристики
Испытал влияние

Клеточный автомат, Метод дискретного элемента

Это метод

вычислительной механики

Метод подвижных клеточных автоматов (MCA, от англ. movable cellular automata) — это метод вычислительной механики деформируемого твердого тела, основанный на дискретном подходе. Он объединяет преимущества метода классических клеточных автоматов и метода дискретных элементов. Важным преимуществом метода МСА является возможность моделирования разрушения материала, включая генерацию повреждений, распространение трещин, фрагментацию и перемешивание вещества. Моделирование именно этих процессов вызывает наибольшие трудности в методах механики сплошных сред (метод конечных элементов, метод конечных разностей и др.), что является причиной разработки новых концепций, например, таких как перидинамика. Известно, что метод дискретных элементов весьма эффективно описывает поведение гранулированных сред. Особенности расчета сил взаимодействия между подвижными клеточными автоматами позволяют описывать в рамках единого подхода поведение как гранулированных, так и сплошных сред. Так, при стремлении характерного размера автомата к нулю формализм метода MCA позволяет перейти к классическим соотношениям механики сплошной среды.

Основные положения метода[править | править вики-текст]

Объект (слева) описывается в виде набора взаимодействующих автоматов (в центре). Справа представлено поле скоростей автоматов.

В рамках метода MCA объект моделирования описывается как набор взаимодействующих элементов/автоматов. Динамика множества автоматов определяется силами их взаимодействия и правилами для изменения их состояния. Эволюция этой системы в пространстве и во времени определяется уравнениями движения. Силы взаимодействия и правила для связанных элементов определяются функциями отклика автомата. Эти функции задаются для каждого автомата. В течение движения автомата следующие новые параметры клеточного автомата рассчитываются: Ri — радиус-вектор автомата; Vi — скорость автомата; \omegai — угловая скорость автомата; \thetai — вектор поворота автомата; mi — масса автомата; Ji — момент инерции автомата.

Новая концепция — концепция соседей[править | править вики-текст]

Каждый автомат имеет несколько соседей

Новая концепция метода MCA основана на представлении состояния пары автоматов (связывает пару взаимодействующих автоматов) в дополнении к обычному состоянию отдельного автомата. Заметим, что учет этого определения позволяет перейти от статической сеточной концепции к концепции соседей. В результате этого, автоматы имеют возможность менять своих соседей путем переключения состояния(зависимостей) пар.

Определение параметров состояния пары автоматов[править | править вики-текст]

Ввод нового типа состояния требует нового параметра используемого в качестве критерия переключения в состояние связанные. Это определяется как параметр перекрытия автоматов hij. И так, связь клеточных автоматов характеризуется величиной их перекрытия.

MCA sh1.gif MCA sh2.gif

Начальная структура формируется установкой свойств особой связи между каждой парой соседних элементов.

Критерии переключения пары автоматов в состояние связанные[править | править вики-текст]

Пара автоматов ij слева находятся в связанном состоянии, справа — в несвязанном.

По сравнению с методом классических клеточных автоматами в методе MCA не только единичный автомат, но и также связи автоматов могут переключаться. В соответствии с концепцией бистабильных автоматов вводится два состояния пары (взаимосвязь):

связанные оба автомата принадлежат одному сплошному телу
несвязанные каждый автомат принадлежит разным телам или фрагментам поврежденного материала

Итак, изменение состояния связи пары определяется относительным движением автоматов, и среда, формируемая такими парами, может быть названа бистабильной средой.

Уравнения движения MCA[править | править вики-текст]

Эволюция MCA среды описывается следующими уравнениями трансляционного движения:

 {d^2 h^{ij} \over dt^2} = \left( {1 \over m^i} + {1 \over m^j} \right) p^{ij} + \sum_{k\neq j} C(ij,ik) \psi(\alpha_{ij,ik}) {1 \over m^i} p^{ik} + \sum_{\ell \neq i} C(ij,j\ell) \psi(\alpha_{ij,j\ell}) {1 \over m^j} p^{j\ell}
Учет сил, действующих между автоматами ij со стороны их соседей.

Здесь mi это масса автомата i, pij это центральная сила действующая между автоматами i и j, C(ij, ik) это особый коэффициент ассоциированный с переносом параметра h из пары ij к ik, ψ(αij, ik) это угол между направлениями ij и ik.

Вращательные движения также могут быть учтены с точностью ограниченной размером клеточного автомата. Уравнения вращательного движения могут быть записаны следующим образом:

{d^2 \theta^{ij} \over dt^2} = \left( {q^{ij} \over J^i} + {q^{ji} \over J^j} \right) \tau^{ij} + \sum_{k\neq j} S(ij,ik) {q^{ik} \over J^i} \tau^{ik} + \sum_{l\neq j} S(ij,jl) {q^{jl} \over J^j} \tau^{jl}

Здесь Θij угол относительного поворота (это параметр переключения подобно hij трансляционного движения), qij(ji) это расстояние от центра автомата i(j) до точки контакта с автоматом j(i) (угловой момент), τij это парное тангенциальное взаимодействие, S(ij, ik(jl)) это особый коэффициент ассоциированный с параметром переноса Θ от одной пары к другой (это похоже на C(ij, ik(jl)) из уравнений трансляционного движения).

Следует отметить, что уравнения полностью аналогичны уравнениям движения для многочастичной среды.

Определение деформации пары автоматов[править | править вики-текст]

Вращение тела как целого не приводит к деформации между автоматами

Смещение пары автоматов Безразмерный параметр деформации для смещения i j пары автоматов записывается как:

 \varepsilon^{ij} = {h^{ij} \over r_{0}^{ij}} = { \left( q^{ij} + q^{ji} \right) - \left( d^{i} + d^{j} \right) \big / 2 \over \left( d^{i} + d^{j} \right) \big / 2 }

В этом случае:

\left( \Delta{\varepsilon^{i(j)}} + \Delta{\varepsilon^{j(i)}} \right)  
{ \left( d^{i} + d^{j} \right) \over 2} = V_{n}^{ij} \Delta{t}

где Δt временной шаг, Vnij — зависимая скорость. Вращение пары автоматов может быть посчитано аналогично с связью последнего смешения.

Описание необратимой деформации в методе MCA[править | править вики-текст]

Деформация определяется величиной перекрытия автоматов
Существует два типа функций отклика автоматов

Параметр εij используется как мера деформации автомата i взаимодействующего с автоматом j. Где qij — расстояние от центра автомата i до точки его контакта с автоматом j; Ri=di/2 (di — размер автомата i).

Например, титановый образец при циклическом нагружении (растяжение-сжатие). Диаграмма деформирования показана на следующем рисунке:

схема нагружения Диаграмма деформирования
MCA cyclic schem.gif MCA cyclic diag.gif
(Красные точки — экспериментальные данные)

Преимущества метода MCA[править | править вики-текст]

Благодаря подвижности каждого автомата метод MCA позволяет напрямую учитывать такие события как:

  • перемешивание масс
  • эффект проникновения
  • химические реакции
  • интенсивные деформации
  • фазовые превращения
  • накопление повреждений
  • фрагментация и трещины
  • генерация и развитие повреждений

Используя различные граничные условия разных типов (жесткие, упругие, вязко-упругие, т.д.) можно имитировать различные свойства окружающей среды, содержащей моделируемую систему. Можно моделировать различные режимы механического нагружения (растяжение, сжатие, сдвиг, т.д.) с помощью настроек дополнительных состояний на границах.

Программное обеспечение[править | править вики-текст]

  • MCA software package
  • Программа для моделирования материалов в дискретно континуальном подходе «FEM+MCA»: Номер государственной регистрации в ОФАП (Патент): 50208802297 / Смолин А. Ю., Зелепугин С. А., Добрынин С. А.; заявитель и организация-разработчик ГОУ ВПО Томский государственный университет. — зарег. 28.11.2008; свидетельство ОФАП № 11826 от 01.12.2008.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]