Метод разделения переменных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод разделения переменных (Метод Фурье) — метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений, назван в честь Жана Батиста Фурье.

Метод Фурье — один из распространенных и эффективных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод часто встречается и под другими названиями: метод разделения переменных или метод собственных функций.

Идея метода соответствует его названию: путём специальных замен исходное уравнение n переменных сводится к решению отдельных уравнений по меньшему числу переменных, в том числе к решению n различных уравнений для каждой переменной.

Решаемые задачи[править | править вики-текст]

Методом Фурье, по классической схеме, можно решать линейные однородные уравнения[1], например волновое уравнение. Алгоритм решения для уравнения двух переменных u(x, t):

  1. Сделать подстановку в уравнение  u(x,t) = X(x)T(t);
  2. Получить два уравнения относительно функций X(x) и T(t);
  3. Решить задачу Штурма — Лиувилля для функции X(x), найти собственные значения  \lambda_n и собственные функции \psi_n;
  4. Для каждого \lambda_n найти функцию T_n(t);
  5. Решение уравнения будет иметь вид  u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n(x) T_n(t), где коэффициенты c_n определяются из начальных условий.


Примечания[править | править вики-текст]

  1. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике. — Санкт-Петербург: Книжный Дом, 2009.